第13讲 极径 的几何意义 讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第 13讲 极径的几何意义 （1）仰角和俯角. 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫作仰角,在水平线下方的角叫作俯角(图45.1). （2）方位角. 从正北方向线顺时针转到目标方向线形成的角叫作方位角(如图所示,点的方位角为). 该题型考查正弦定理和余弦定理在解决实际问题中的应用;考查对实际问题的理解能力与运算求解能力;考查数形结合思想、函数与方程思想以及转化与化归思想;考查的核心素养是数学运算与数学建模. 对于极坐标来说,我们需要重点记住极坐标和直角坐标的互化公式,. 极坐标相关题目的核心在于理解极径的几何意义,即圆雉曲线上的点到极点的距离,,这也是极坐标的一个重要用途,即用来解决与极点相关的两类问题. 1.线段长度问题:||. 2.面积问题:•. 线段相减求值 【例1】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐 标系,直线的参数方程为(其中为参数),曲线(其中为参数). (1)求直线及曲线的极坐标方程. (2)若曲线与直线和曲线分别交于异于极点的两点,求的值. 【例2】在直角坐标系中,已知曲线的方程为,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,在极坐标系中,曲线的极坐标方程为. (1)求曲线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程. (2)设射线与曲线和曲线依次相交于两点,求的值. 线段相加求值 【例1】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.,设为曲线上的两点,且,求的最大值. 【例2】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为. (1)求曲线的极坐标方程. (2)当时,设直线与曲线相交于两点,求的取值范围。 线段相乘求值 【例1】在直角坐标系中,曲线的参数方程是(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线的极坐标方程. (2)在曲线上取一点,直线绕极点逆时针旋转,交曲线于点,求的最大值. 【例2】在平面直角坐标系中,曲线的方程为,以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为. (1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程. (2)设点在曲线上,直线交曲线于点,求的最小值. 线段相除求值 【例1】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为. (1)求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程. (2)若射线与曲线交于点(不同于极点),与直线交于点,求的最大值. 【例2】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为. (1)求曲线的极坐标方程. (2)射线与曲线和直线分别交于两点(异于极点,求的最大值. 线段综合问题 【例1】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),曲线.以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线与曲线分别交于点(均异于极点. (1)求曲线的极坐标方程. (2)当时,求的取值范围。 【例2】在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为. (1)求曲线和直线的直角坐标方程. (2)过极点引一条射线分别交曲线和直线于两点,求的最大值. 【例3】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),直线与曲线交于两点.以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线的极坐标方程. (2)若,求. 面积问题 【例1】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(其中为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线的极坐标方程. (2)已知是曲线上的任意两点,且.,求面积的最大值. 【例2】已知曲线的参数方程为(其中为参数),以原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为. (1)写出曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程. (2)若射线与曲线交于两点,与直线交于点,射线与曲线交于两点,求的面积. 【例3】在平面直角坐标系中,直线的方程为,圆的参数方程为(其中为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为. (1)求的极坐标方程. (2)设直线与圆异于极点的交点分别是,求的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 13讲 极径的几何意义 （1）仰角和俯角. 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫作仰角,在水平线下方的角叫作俯角(图45.1). （2）方位角. 从正北方向线顺时针转到目标方向线形成的角叫作方位角(如图所示,点的方位角为). 该题型考查正弦定理和余弦定理在解决实际问题中的应用;考查对实际问题的理解能力