第14讲 直线参数t的几何意义 讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第14讲 直线参数t的几何意义 对于直线的标准参数方程,核心在于理解参数的几何意义.我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积、商等问题,通常通过方程联立,凑出韦达定理来求解. 过定点,倾斜角为的直线的参数方程为(其中为参数),其中的几何意义为:是直:线上任一点到的距离,设是直线上任意两点,对应的参数分别为,则有以下结论. (1)线段相关问题 线段积: 线段商: 线段差: 线段和: (2)线段的中点对应的参数. (3)若线段的中点为,则且. 注意:求解时需先判断的正负,再求值,如果点相对于点在直线向上的方向,则为正,否则为负. 线段和 【例1】在直角坐标系中,直线的参数方程为(其中为参数),在以原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为. (1)求直线与曲线的直角坐标方程. (2)若直线与轴的交点为点,直线与曲线的交点为点,求的值. 【例2】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),在以原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为. （1）求曲线的直角坐标方程和直线的倾斜角. (2)设点,直线和曲线交于两点,求. 线段差 【例1】 在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为. (1)求直线和曲线的直角坐标方程. (2)设点,直线与曲线的交点为点和点,求. 【例2】在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为. (1)求曲线和直线的直角坐标方程. (2)已知点,若直线与曲线交于两点,求||的值. 线段积 【例1】在直角坐标系中,曲线的参数方程是(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为 (1)求曲线和直线的直角坐标方程. (2)已知点,若和的交点为,求。. 【例2】c的参数方程为（其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,直线的极坐标方程为. (1)求曲线和直线的直角坐标方程. (2)直线与轴的交点为,经过点的直线与曲线交于两点,证明:。为定值. 线段商 【例1】在直角坐标系中,直线l的参数方程为 (其中为参数,为直线的倾斜角),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为. (1)求曲线的直角坐标方程. (2)若点的坐标为,直线与曲线相交于两点,且,求直线的直角坐标方程. 线段综合 【例1】在平面直角坐标系中,经过伸缩变换,曲线变为曲线.以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,为极角,直线的极坐标方程为,其中为参数,且. (1)求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程. (2)设直线与轴交于点,与曲线交于两点,求的取值范围. 【例2】 已知曲线的参数方程为(其中为参数),以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为. (1)求曲线和曲线的直角坐标方程. (2)过点的直线与交于两点,与交于两点,求的取值范围. 【例3】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为. (1)求直线和曲线的直角坐标方程. (2)直线与曲线交于两点,设点的坐标为,求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 直线参数t的几何意义 对于直线的标准参数方程,核心在于理解参数的几何意义.我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积、商等问题,通常通过方程联立,凑出韦达定理来求解. 过定点,倾斜角为的直线的参数方程为(其中为参数),其中的几何意义为:是直:线上任一点到的距离,设是直线上任意两点,对应的参数分别为,则有以下结论. (1)线段相关问题 线段积: 线段商: 线段差: 线段和: (2)线段的中点对应的参数. (3)若线段的中点为,则且. 注意:求解时需先判断的正负,再求值,如果点相对于点在直线向上的方向,则为正,否则为负. 线段和 【例1】在直角坐标系中,直线的参数方程为(其中为参数),在以原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为. (1)求直线与曲线的直角坐标方程. (2)若直线与轴的交点为点,直线与曲线的交点为点,求的值. 【解析】((1)由直线的参数方程(其中为参数),得直线的直角坐标方程为. 曲线的极坐标方程为,整理得, 将代入上式得. 曲线的直角坐标方程为. (2)将代入得 即. 设对应的参数分别为,则. .. 【例2】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),在以原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为. （1）求曲线的直角坐标方程和直线的倾斜角. (2)设点,直线和曲线交于两点,求. 【解析