第15讲 参数方程解决最值和范围问题 讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第15讲 参数方程解决最值和范围问题 参数方程的核心在于引入参数作为中间变量来统一坐标,把双元问题转化为单元问题,结合三角函数来求解距离最值问题和范围问题.解题时需要设出曲线上的点,的参数坐标,再代人距离公式计算即可. 坐标最值 【例1】已知圆的极坐标方程为。. (1)将极坐标方程化为直角坐标方程. (2)若点在该圆上,求1的最大值和最小值. 【例2】在平面直角坐标系中,直线的参数方程是(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴,且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为. (1)求直线和曲线的直角坐标方程. (2)设为曲线上的任意一点,求的取值范围. 点到点的距离 【例1】在直角坐标系中,曲线的直角坐标方程为,在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为. (1)求曲线的直角坐标方程. (2)点为曲线上一动点,点为曲线上一动点,试求的最小值. 【例2】在极坐标系中,点的坐标为的坐标为,曲线的极坐标方程:.以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系. (1)在直角坐标系中,求点的直角坐标及曲线的参数方程. (2)设点为曲线上的动点,求的取值范围. 点线距离问题 【例1】在平面直角坐标系中,直线的参数数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为. (1)求曲线和直线的直角坐标方程. (2)设点为曲线上的动点,求点到直线的距离的最小值. 【例2】在极坐标系中,直线4,圆.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系. (1)求直线的直角坐标方程和圆的参数方程. (2)已知点在圆上,点到和轴的距离分别为,求的最大值. 【例3】已知曲线,直线:(其中为参数). (1)写出曲线的参数方程和直线的直角坐标方程. (2)过曲线上任意一点作与夹角为的直线,交于点,求的最大值与最小值. 【例4】在平面直角坐标系中,椭圆的参数方程为(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为 (1)求经过椭圆右焦点且与直线垂直的直线的极坐标方程. (2)若点为椭圆上任意一点,当点到直线的距离最小时,求点的直角坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 参数方程解决最值和范围问题 参数方程的核心在于引入参数作为中间变量来统一坐标,把双元问题转化为单元问题,结合三角函数来求解距离最值问题和范围问题.解题时需要设出曲线上的点,的参数坐标,再代人距离公式计算即可. 坐标最值 【例1】已知圆的极坐标方程为。. (1)将极坐标方程化为直角坐标方程. (2)若点在该圆上,求1的最大值和最小值. 【解析】 (1)已知圆的极坐标方程为 , 整理得, 即, 圆的直角坐标方程为. (2)由(1)题知,圆的直角坐标方程为, 圆的参数方程为（其中为参数,), 点的坐标为在该圆上, 的坐标为, 【例2】在平面直角坐标系中,直线的参数方程是(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴,且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为. (1)求直线和曲线的直角坐标方程. (2)设为曲线上的任意一点,求的取值范围. 【解析】 (1)已知直线的参数方程是(其中为参数), 消去参数可得直线的直角坐标方程:. 由得, 整理得, 故由线的直角坐标方程为. (2)根据(1)题得曲线的直角坐标方程:.令, 则,. 的取值范围是. 点到点的距离 【例1】在直角坐标系中,曲线的直角坐标方程为,在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为. (1)求曲线的直角坐标方程. (2)点为曲线上一动点,点为曲线上一动点,试求的最小值. 【解析】 (1)将代入曲线的极坐标方程,整理得曲线的直角坐标方程为. (2)根据已知,设点坐标为,, 曲线是一个圆,其圆心为,. 【例2】在极坐标系中,点的坐标为的坐标为,曲线的极坐标方程:.以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系. (1)在直角坐标系中,求点的直角坐标及曲线的参数方程. (2)设点为曲线上的动点,求的取值范围. 【解析】 (1)已知,【解析】得. ,, 即. 曲线的参数方程为(其中为参数). (2)不妨设点的坐标为,, 点线距离问题 【例1】在平面直角坐标系中,直线的参数数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为. (1)求曲线和直线的直角坐标方程. (2)设点为曲线上的动点,求点到直线的距离的最小值. 【解析】 (1)曲线的直角坐标方程为,将代入直线的极坐标方程,得的直角坐标方程为. (2)设点,的坐标为, 则点.到直线的距离, 当时,距离最小,最小值. 【例2】在极坐标系中,直线4,圆.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.