第16讲 解析几何解题总思路 第17讲 求轨迹方程的五种方法 讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第16讲 解析几何解题总思路 作为解析析几何的开篇,本章会对解析几何的总体解题思路做一个概述,这一节内容综合性很强,读者第一次没看懂也没关系,学习是一个反复的过程,“书读百遍,其义自见”. 首先读者需要明白的第一个问题就是:什么是解析几何?顾名思义,解析几何就是利用解析式(方程)来解决几何问题,几何问题包括位置关系、线段长度、面积、角度等基础问题,还包括最值、范围、定点、定值等问题、 根据解析几何定义,我们可以看到,解析式只是作为一个工具,而真正的核心还是几何,在解决这些几何问题时,我们的核心思路是:几何和解析式之间的相互转换.一方面需要把给出的几何条件翻译成解析式,例如,,或者要把给出的解析式还原成几何条件,例如:是平行四边形.另一方面需要把待解决的几何问题转化为解析式,例如:证明点在以为直径的图内,要转换为证明. 在解决解析几何问题时,我们的核心思路是： 第一步:引参.引人参数设直线方程,分三种情况:(1)若题设条件中已知点,,则引人斜率参数,设点斜式直线式方程:;(2)若题设条件中已知斜率,点不固定,则引入截距参数,设斜截式直线方程:;(3)若题设中只说是动直线,则引人参数和,设斜截式直线方程: 第二步:联立方程.把所设直线方程与曲线方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程. 第三步:求解判别式.计算一元二次方程的根的判别式. 第四步:写出根之间的关系.设交点为,得到根与系数的关系:. 第五步:凑韦达,整体代换.根据题设条件和求解的问题,去凑出韦达定理,进而可以整体代换,这个过程把第一步引入的参数实现了转移. 第六步:消参.把第一步设出来的参数最终消掉(最值范围问题可以不用消完),消参的方式有等式带人消参、因式相减消参、分式相除消参、因式无关消参等方式,具体方法在第7章的和中进行讲解. 注意:以上是解题的大体思路,大家可以不按这个顺序,核心就是三步:(1)引参.(2)凑韦达.(3)消参. 以上就是我们解析几何的一个大体解题思路,其中最核心的就是“设而不求,整体代换”,也就是去凑韦达定理,韦达定理是用二次方程的系数运算来表示两个根的和、积与系数的关系(后面简称“根与系数的关系”),其在解析几何中得到广泛使用的原因主要有两个:一是联立方程,消元后的二次方程通常含有参数,进而导致直接利用求根公式计算出来的实根形式非常复杂,难以参与后面的运算;二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系进而在思路上就想利用韦达定理,绕开繁杂的求根结果,通过整体代人的方式得到答案.这里需要说明的是,所谓凑韦达不仅指凑出根的和、积,凑出根的差、商也是可以的,如,,也就是说得到两根的加、减、乘、除关系都可以算是凑韦达,从而实现整体代换.下面的例子就是凑出根的商的形式,我们通过下面这个例子来讲解解析几何问题求解的一般思路. 【例】 在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且在所有过焦点的弦中,弦长的最小值为. (1)求椭圆方程. (2)若过点的直线与粗圆交于不同的两点(点在之间),求三角形与三角形的面积比值的范围. 【解析】 (1). . 由椭圆性质可得,焦点弦的最小值为. . 的方程为. (2)设直线,点,(直线过定点,所以引入斜率参数). . (凑韦达,这里是两根相除的形式).联立直线方程与椭圆方程: (得判别式) (整体代换,实现参数转移). 设,所解不等式为 虽然凑韦达是整个解析几何的核心,但也并不是所有解析几何的问题都需要凑出韦达来求解.例如,直线过原点,或者直线过曲线上的定点都是可以直接求出坐标点的,或者所求的问题与两根的和、积无关,这时候韦达定理豪无用武之地. 第 17讲 求轨迹方程的五种方法 求轨迹方程是解析几何最基本的问题,通常放在第一问,相对比较简单,如果放在第二问来考查,则通常用参数法.对于求轨迹方程,我们要明确的是求动点的轨迹方程.其最终目的是求出动点坐标的无参等式,即或者极坐标下.我们常用的有五种方法:待定系数法、定义法、相关点法、直接法、参数法,其一般解题步骤如下. (1)建系:建立直角坐标系. (2)设点:将所求动点坐标设为,同时将其他相关点坐标化(末知的暂用参数表示). (3)列式:从已知条件中发掘的关系,列出方程. (4)化简:将方程进行变形化简,并求出的范围. 方法一:待定系数法 题设条件:题目中明确给出所求曲线方程的形式. 思路:只需设含有参数的曲线方程,根据条件,列出关于参数的方程组,解出参数,即可得到曲线方程及其待求参数. (1)直线:. (2)圆:或者. (3)椭圆标准方程:(或,由焦点所在的轴决定， 椭圆方程通式:. (4)双曲线标准方程:,或,由焦点所在的轴决定. 双曲线方程通式:. (5)抛物线标准方程:. 抛物线方程通式:. 【例1】已知圆经过两点,且被直线截得的线段长为.求