第19讲 解析几何最值问题 讲义——2023届高三数学二轮专题复习

第19讲 解析几何最值问题 圆锥曲线的面积长度及最值相关问题,是解析几何这一块内容的重点,通过学习我们可以深刻理解解析几何的含义和作用,即利用解析式解决几何问题,这是用纯几何手段无法实现的一种精确计算,希望认真体会! 总的来说,圆锥曲线中的最值问题主要是利用函数法把要求最值的几何量建立起一元函数关系式,然后利用导函数、基本不等式等方法求解最值,在处理一元函数的时候通常需要整体代换来换元.例如,建立面积和斜率的一元函数关系,假设(1),则令,带入(1)可得(其中时等号成立). 如果在利用代数法求最值和范围的过程中,我们建立的不是一元函数问题(即一个参数),而是双元函数问题,那么我们需要消掉参数,消参的方式这里主要是利用等式带入消参:建立两个参数之间的等式关系或者不等式关系,通过整体代换消元得到参数的最值或者取值范围. 【例】已知双元函数,通过找到两个参数和的等式关系. 带入式子可以实现消元,即,从而建立一元函数来求解范围和最值. 弦长最值 【例1】过椭圆右焦点的直线相互垂直,且分别交椭圆于和四点,求的最小值. 【例2】若圆上一点处的切线交椭圆于两不同点,求弦长的最大值. 三角形面积最值 【例1】过点的直线交椭圆:于两点,求(为原点) 面积的最大值. 【例2】已知椭圆，直线与椭圆相交于两点,且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点,求面积的最大值. . 【例3】已知椭圆的左、右两个焦点分别是,且点,若是坐标原点,两点(异于点)是椭圆上的动点,且直线与直线的斜率满足,求面积的最大值. 四边形面积最值 【例1】在平面直角坐标系中,椭圆,过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与,求四边形面积的最小值. 【例2】已知椭圆的右焦点,拋物线,过右焦点作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于两点,交曲线于两点,求四边形面积的最小值. 【例3】过左焦点点的直线与曲线交于两点,设的中点为两点为椭圆上关于原点对称的两点,且,求四边形面积的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 解析几何最值问题 圆锥曲线的面积长度及最值相关问题,是解析几何这一块内容的重点,通过学习我们可以深刻理解解析几何的含义和作用,即利用解析式解决几何问题,这是用纯几何手段无法实现的一种精确计算,希望认真体会! 总的来说,圆锥曲线中的最值问题主要是利用函数法把要求最值的几何量建立起一元函数关系式,然后利用导函数、基本不等式等方法求解最值,在处理一元函数的时候通常需要整体代换来换元.例如,建立面积和斜率的一元函数关系,假设(1),则令,带入(1)可得(其中时等号成立). 如果在利用代数法求最值和范围的过程中,我们建立的不是一元函数问题(即一个参数),而是双元函数问题,那么我们需要消掉参数,消参的方式这里主要是利用等式带入消参:建立两个参数之间的等式关系或者不等式关系,通过整体代换消元得到参数的最值或者取值范围. 【例】已知双元函数,通过找到两个参数和的等式关系. 带入式子可以实现消元,即,从而建立一元函数来求解范围和最值. 弦长最值 【例1】过椭圆右焦点的直线相互垂直,且分别交椭圆于和四点,求的最小值. 【解析】由题可知,粗圆右焦点为,设,. (1)当直线的斜率为0时,,直线,可得. (2)当直线的斜率不存在时,直线的斜率为. (3)当直线的斜率存在且不为0时,直线的方程可设为,则直线的方程为.联立两条直线方程得,整理得.恒成立,则. 而 联立直线与椭圆方程可得 则. 当时,,则. 综上,. 当时,的最小值为. 【例2】若圆上一点处的切线交椭圆于两不同点,求弦长的最大值. 【解析】(1)当直线的斜率不存在时,其方程为,此时两点的纵坐标为和, (2)当直线的斜率存在时,设直线的方程为,由直线与圆相切得 设，联立得 , . .,令,则. 越大,越大. ,即.综合以上可知,弦长的最大值为 三角形面积最值 【例1】过点的直线交椭圆:于两点,求(为原点) 面积的最大值. 【解析】由题意可知直线一定存在斜率,否则三点共线,构不成三角形. 设其方程为. 联立, 消去得, 则,得. 设, 则. , 设,则. 当且仅当,即时,等号成立,此时,符合题意, 此时面积取得最大值:. 【例2】已知椭圆，直线与椭圆相交于两点,且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点,求面积的最大值. 【解析】联立, 消去得. 设.则有. 以线段为直径的圆过椭圆的右顶点, , . 将代入(1)式并整理得 , 则 化简得,解得或. 直线不过点, . 直线恒过点. . 设,则. 的面积在上单调递增.当时,有最大值,此时 . 【例3】已知椭圆的左、右两个焦点分别是,且点,若是坐标原点,两点(异于点)是椭圆上的动点,且直线与直线的斜率满足,求面积的最大值. 【解析】由题意知直线的斜率存在且不为0. 设直线的方程为,. 将与联立并消去得, . ,