第20讲 取值范围问题的解法 讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第20讲 取值范围问题的解法 这一节主要讲解解析几何的范围问题,相对于前一讲最值问题来说难度加大,但和最值问题的解题思路很像,解题的核心思路是:构建所求几何量的含参一元函数,形如,并且进一步找到自变量范围,进而求出值域,即所求几何量的范围,常见的函数有: ①二次函数;②"对勾函数";③反比例函数;④分式函数.若出现非常规函数,则可考虑通过换元“化归”为常规函数,或者利用导数进行解决.这里找自变量的取值范围在或者换元的过程中产生.除此之外,在找自变量取值范围时,还可以从以下几个方面考虑: ①利用判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围. ②利用已知参数的范围,求出新参数的范围,解题的关键是建立两个参数之间的等量关系. ③利用基本不等式求出参数的取值范围. ④利用函数值域的求法,确定参数的取值范围. 弦长的取值范围 【例1】若为圆的任意一条切线,与椭圆交于两点,,求的取值范围. 【例2】过点的直线交椭圆于两点,为椭圆上一点,为坐标原点,且满足,其中,求的取值范围. 【例3】已知是椭圆的两个焦点,为坐标原点,点,在椭圆上,且是以为直径的圆,直线与相切,并且与椭圆交于不同的两点. (1)求椭圆的标准方程. (2)当,且满足时,求弦长的取值范围。 三角形面积的取值范围 【例1】如下图所示,已知椭圆左、右焦点分别为为椭圆上任意一点,过的直线与椭圆交于两点,点在线段上,且,点关于原点对称的点为点,求面积的取值范围. 【例2】设直线与椭圆相交于不同的两点为线段的中点,为坐标原点,射线与椭圆相交于点,且点在以为直径的圆上.记的面积分别为,求的取值范围. 四边形面积的取值范围 【例1】已知椭圆的离心率为是椭圆的左、右焦点,是椭圆上一点,的最小值为2. (1)求椭圆的方程. (2)过点且与轴不重合的直线交椭圆于两点,圆是以为圆心椭圆的长轴长为半径的圆,过且与垂直的直线与圆交于两点,求四边形面积的取值范围. 【例2】已知椭圆0)的焦距为4,左、右焦点分别为,且与抛物线的交点所在的直线经过. (1)求粗圆的方程. (2)分别过作平行直线,若直线与交于两点,与拋物线无公共点,直线与交于两点,其中点在轴上方,求四边形的面积的取值范围. 向量点积的取值范围 【例1】设直线与椭圆:交于两点,为坐标原点,若,求的取值范围. 【例2】直线与椭圆交于不同的两点若存在点，使得四边形为平行四边形(为坐标原点),求的取值范围. 参数的取值范围 【例1】过点的直线交椭圆于不同的两点(在之间),且满足,求的取值范围. 【例2】设椭圆的左顶点为,右顶点为,设过点的直线与椭圆交于点,且点在第一象限,点关于轴对称点为点,直线与直线交于点,若直线斜率大于,求直线的斜率的取值范围. 【例3】若过点的直线与椭圆:交于不同的两点,且与圆没有公共点,设为椭圆上一点,满足(为坐标原点),求实数的取值范围. 【例4】已知椭圆的一个顶点为,设椭圆与直线相交于不同的两点,当时,求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲 取值范围问题的解法 这一节主要讲解解析几何的范围问题,相对于前一讲最值问题来说难度加大,但和最值问题的解题思路很像,解题的核心思路是:构建所求几何量的含参一元函数,形如,并且进一步找到自变量范围,进而求出值域,即所求几何量的范围,常见的函数有: ①二次函数;②"对勾函数";③反比例函数;④分式函数.若出现非常规函数,则可考虑通过换元“化归”为常规函数,或者利用导数进行解决.这里找自变量的取值范围在或者换元的过程中产生.除此之外,在找自变量取值范围时,还可以从以下几个方面考虑: ①利用判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围. ②利用已知参数的范围,求出新参数的范围,解题的关键是建立两个参数之间的等量关系. ③利用基本不等式求出参数的取值范围. ④利用函数值域的求法,确定参数的取值范围. 弦长的取值范围 【例1】若为圆的任意一条切线,与椭圆交于两点,,求的取值范围. 【解析】设直线方程为:.直线为圆的切线, 联立直线与椭圆方程得.,由韦达定理得 弦长.令, 【例2】过点的直线交椭圆于两点,为椭圆上一点,为坐标原点,且满足,其中,求的取值范围. 【解析】设直线的方程为:,,将该直线方程与椭圆方程联立得,设, 设.,有, ,把点坐标代入椭圆方程中得 简得,而, , . 令.. , 当的最大值为.当时,. , 的取值范围为. 【例3】已知是椭圆的两个焦点,为坐标原点,点,在椭圆上,且是以为直径的圆,直线与相切,并且与椭圆交于不同的两点. (1)求椭圆的标准方程. (2)当,且满足时,求弦长的取值范围。 【解析】(1)由得,可得,将点代入椭圆方程得 又,与上式联立解得,故椭圆标准方程为. (2)直线与相切,则由得 直线与椭圆交于不同的两,点.设, . . 设,则.