第21讲 定值问题的核心思路 讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第21讲 定值问题的核心思路 所谓定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些量在变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变，即为定值．定值问题的解题目的：消掉所有参数，得到某个量为一个无参的数值，即为定值，可以是面积、线段长度、向量积和斜率为定值． 常用消参方法： （1）等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数． （2）分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值． （3）因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉． （4）参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如： ，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用． 面积定值 所谓面积定值问题，就是证明一个图形的面积为定值，我们需要把所有参数消掉，这里消参的方式主要会用到两种：分式相除消参和等式带用消参，这两种方法也往往是结合起来的，请慢慢体会． 方法一：分式相除消参 【例1】 如下图所示，已知双曲线，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于，两点，为坐标原点．求证：面积为定值，并求出该定值． 【例2】如下图所示，点为椭圆：上位于第一象限内一动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证：四边形的面积为定值． 等式带入消参 【例1】如下图所示，若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于．试探求的面积是否为定值，并说明理由． 【例2】直线与椭圆交于两点，在椭圆上且四边形为平行四边形，求证：四边形的面积为定值． 【例3】点在椭圆上，点是椭圆上与点不重合的任意两点，若的重心是坐标原点，试证明：的面积为定值，并求出该定值． 向量积定值 【例1】如下图所示，过点的动直线交椭圆于另一点，设，过椭圆中心作直线的垂线交于点，求证：为定值． 【例2】设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，问：是否为定值？若是，求出此定值．存不是，说明理由． 斜率定值 所谓斜率定值是关于两直线斜率的和、积或者商为定值的问题，其【解析】题思路依然是想办法消参． 题型一：斜率的和为定值 【例1】过点的直线与椭圆：相交于两点，设点，直线的斜率分别为，是否为定值？并证明你的结论． 【例2】已知点，，过点的直线交椭圆于两点，直线的斜率分别为．求证：为定值． 斜率的积为定值 【例1】如下图所示，为坐标原点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，，的面积为1． （1）求椭圆的方程． （2）若点，点是椭圆上的两点，且，记直线的斜率分别为．证明：为定值． 【例2】已知椭圆的方程为，若直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与圆交于两点，直线的斜率分别记为．试判断是否为定值，若是，求出该定值．否则，请说明理由． 斜率的商为定值 【例1】如下图所示，点为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值． 【例2】过点斜率为的直线交抛物线于两点，点，延长分别与抛物线交于两点，设的斜率为．证明：为定值． 线段定值 【例1】设椭圆的左、右顶点分别为点，左焦点为点，过点的直线与椭圆交于两点（点和点均不在坐标轴上），直线分别与轴交于点，直线分别与轴交于点．求证：为定值，并求出该定值． 【例2】过点作直线交椭圆于另外一点，交轴于点，为椭圆上一点，且．求证：为定值． 【例3】过椭圆的右焦点的直线（的斜率存在）交椭圆于两点，弦的垂直平分线交轴于点．问：是否是定值？若是，求出定值：老不是，说明理由． 【例4】如下图所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线方程为，过点作抛物线的切线，切点为（异于点），直线过点与抛物线交于两点，与直线交于点． （1）求抛物线的方程． （2）试问的值是否为定值？若是，求出定值．若不是，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21讲 定值问题的核心思路 所谓定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些量在变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变，即为定值．定值问题的解题目的：消掉所有参数，得到某个量为一个无参的数值，即为定值，可以是面积、线段长度、向量积和斜率为定值． 常用消参方法： （1）等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数． （2）分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值． （3）因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉． （4）参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如： ，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用． 面积定值 所谓面积定值问题，就是证明一个图形的面积为定值，我们需要把所有参数消掉，这里消参的方式主要会用到两种：分式相除消参和等式带用消参，这两种方法也往往是结合起来的，