第22讲 定点、定直线问题 讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第22讲 定点、定直线问题 圆锥曲线的定点、定直线问题就是曲线或直线过定点，或者动点在定直线上，其核心思路就是消参，消参的手段主要用的有两种：①等式代是消参（前面讲过，就是找到两个参数之间的关系，带是从而消掉一个参数）．②参数无关性消参：和参数相关的因式为时，和参数的取值没什么关系，比如，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用． 直线过定点 直线过定点问题：题设为某直线恒过某个定点． 目标：建立出只含斜率一个参数的直线方程，形如，则会恒过这个点，也就是当时，与斜率参数没有什么关系了，这个我把它称之为参数无关性． 一般解题步骤： （1）斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个． （2）找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉． （3）参数无关找定点：找到和没有关系的点． 【例1】 若点是抛物线上的两个动点，为坐标原点，且，求证：直线恒过定点． 【例2】过点作相互垂直的两条直线，直线与曲线相交于，两点，直线与曲线相交于，两点，线段的中点分别为，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 【例】3 为椭圆上一点，过点作互相垂直的两条直线分别又交椭圆于点，求证：直线过定点，并求出定点的坐标． 动点在定直线上 动点在定直线上：题设为某动点在某定直线． 目标：需要消掉关于动点横坐标或者纵坐标的所有参数，从而建立一个无参的直线方程，此时会分为三种情况： （1），即动点恒过直线． （2），即动点恒过直线． （3），即动点恒过直线． 【例1】如下图所示，过点任作一动直线交椭圆于两点，记．若在线段上取一点，使得，试判断当直线运动时，点是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线．若不在，请说明理由． 【例2】设动直线与椭圆：有且只有一个公共点，过椭圆右焦点作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，求出定直线的方程． 【例3】如下图所示，椭圆的左、右顶点分别为点，上、下顶点分别为点，右焦点为点，，离心率为． （1）求椭圆的标准方程． （2）过点作不与轴重合的直线与椭圆交于点，直线与直线交于点，试讨论点是否在某条定直线上，若在，求出该直线方程．若不在，请说明理由． 圆过定点 圆过定点问题：题设以线段为直径的圆，恒过定点． （1）向量为零法：利用，整体代换消参之后求出点坐标的确定值． （2）参数无关法：设出的中点，求出长度，令，建立出圆的方程，形如，利用参数无关性，可知圆恒过． 方法一：向量为零法 【例1】已知圆的切线（直线的斜率存在且不为零）与椭圆相交于两点．证明：以为直径的圆经过原点． 【例2】过点任作一直线与曲线交于两点，直线与直线分别交于点为坐标原点，求证：以线段为直径的圆经过点． 【例3】过点且斜率为的动直线交椭圆：于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由． 方法二：参数无关法 【例1】若过的直线与曲线：交于两点，直线与直线分别交于两点，试判断以为直径的圆是否经过定点．若是，求出定点坐标．若不是，请说明理由． 【例2】如下图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点，试问以为直径的圆是否过定点（与的斜率无关）？请证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22讲 定点、定直线问题 圆锥曲线的定点、定直线问题就是曲线或直线过定点，或者动点在定直线上，其核心思路就是消参，消参的手段主要用的有两种：①等式代是消参（前面讲过，就是找到两个参数之间的关系，带是从而消掉一个参数）．②参数无关性消参：和参数相关的因式为时，和参数的取值没什么关系，比如，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用． 直线过定点 直线过定点问题：题设为某直线恒过某个定点． 目标：建立出只含斜率一个参数的直线方程，形如，则会恒过这个点，也就是当时，与斜率参数没有什么关系了，这个我把它称之为参数无关性． 一般解题步骤： （1）斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个． （2）找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉． （3）参数无关找定点：找到和没有关系的点． 【例1】 若点是抛物线上的两个动点，为坐标原点，且，求证：直线恒过定点． 【解析】证明 由题意可知直线的斜率存在，设直线方程：，，． 将直线的方程代入中，得． ∴，，， ∴直线恒过定点． 【例2】过点作相互垂直的两条直线，直线与曲线相交于，两点，直线与曲线相交于，两点，线段的中点分别为，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 【解析】证明 由题意可知，直线的斜率均存在． 设直线的方程为，，． 联立，消去得， ，． ∵点是线段的中点， ∴． 同理，将换成得， 当，即时， ∴直线的方程为．， 即， ∴直线恒过定点． 当时，直线的方程为，也过点， ∴直