第23讲 存在性问题探究 讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第23讲 存在性问题探究 所谓存在性问题是指圆锥曲线中存在某个量（点、线或参数等）使得某个几何关系成立，这种问题有两种常考题型： 题型一：存在点或者参数，使得某个量为定值． 解题思路：这类问题的解题思路是运用参数无关性来消参，即存在某点使得某个量和所设的参数无关，从而得到定值． 题型二：存在点在曲线上． 解题思路：设出点，带锥曲线方程，看方程是否有解． 解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立． （2）假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在． 存在点使向量点积为定值 【例1】过点作直线交于两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使为定值？若存在，求出这个定点的坐标．若不存在，请说明理由． 存在点使斜率的和或积为定值 【例1】设直线经过椭圆的右焦点且与交于不同的两点,试问:在轴上是否存在点,使得直线与直线的斜率的和为定值?若存在,请求出点的坐标.若不存在,请说明理由. 【例2】过点且斜率不为零的直线交椭圆于两点,在轴上是否存在定点,使得直线的斜率之积为非零常数?若存在,求出定点的坐标.若不存在,请说明理由. 存在点使角度相等 【例】1设过椭圆:右焦点的动直线与椭圆交于两点,试问在轴上是否存在与点不重合的定点,使得恒成立?若存在,求出定点的坐标.若不存在,请说明理由. 【例2】过椭圆的右焦点作直线与椭圆交于不同的两点,试问在轴上是否存在定点使得为坐标原点)?若存在,求出点的坐标.若不存在,说明理由. 存在点使等式恒成立 【例1】过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点,为坐标原点,问椭圆上是否存在点,使得?若存在,求出直线的方程.若不存在,请说明理由. 【例2】已知动直线过椭圆右焦点,且与椭圆分别交于两点.试问轴上是否存在定点,使得.恒成立?若存在求出点的坐标.若不存在,说明理由. 【例3】已知椭圆,过右焦点的直线交椭圆于两点,若直线的斜率存在,在线段上是否存在点,使得,若存在,求出的范围.若不存在,请说明理由. 【例4】过点作直线与抛物线交于不同的两点,设的中点为,问曲线上是否存在一点,使得恒成立?如果存在,求出点的坐标.如果不存在,说明理由. 存在性使线段关系式为定值 【例1】椭圆的一个焦点到直线的距离为,离心率为,抛物线的焦点与椭圆的焦点重合,斜率为的直线过的焦点与交于,与交于. (1)求椭圆及抛物线的方程. (2)是否存在常数,使得为常数?若存在,求出的值.若不存在,请说明理由. 【例2】在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,直线与轴交于点,与椭圆交于两点,当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时,弦的长为. (1)求椭圆的方程. (2)是否存在点,使得为定值?若存在,请求出点的坐标,并求出该定值.若不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23讲 存在性问题探究 所谓存在性问题是指圆锥曲线中存在某个量（点、线或参数等）使得某个几何关系成立，这种问题有两种常考题型： 题型一：存在点或者参数，使得某个量为定值． 解题思路：这类问题的解题思路是运用参数无关性来消参，即存在某点使得某个量和所设的参数无关，从而得到定值． 题型二：存在点在曲线上． 解题思路：设出点，带锥曲线方程，看方程是否有解． 解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立． （2）假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在． 存在点使向量点积为定值 【例1】过点作直线交于两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使为定值？若存在，求出这个定点的坐标．若不存在，请说明理由． 【解析】 （1）当直线不与轴重合时，可设直线的方程为：，，． 联立，整理得， 则， ． 假设存在定点，使得为定值， 当且仅当,即时,.(为定值),这时, (2)当直线与轴重合时,此时, 满足题意. ∴存在定点,使得对于经过点的任意一条直线均有(恒为定值). 存在点使斜率的和或积为定值 【例1】设直线经过椭圆的右焦点且与交于不同的两点,试问:在轴上是否存在点,使得直线与直线的斜率的和为定值?若存在,请求出点的坐标.若不存在,请说明理由. 【解析】若存在满足条件的点. (1)当直线的斜率存在时,设.联立, 消得. 设,则 ∴要使对任意实数为定值,则只有,此时,. (2)当直线与轴垂直时,若,也有. 故在轴上存在点,使得直线与直线的斜率的和为定值0. 【例2】过点且斜率不为零的直线交椭圆于两点,在轴上是否存在定点,使得直线的斜率之积为非零常数?若存在,求出定点的坐标.若不存在,请说明理由. 【解析