第24讲 证明问题的核心思路 讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第24讲 证明问题的核心思路 证明问题是比较综合的一类,综合了前面所学的基本考题类型,综合性较强,解决这一类问题的核心在于是否能够准确地把需要证明的问题转化为等式关系,进而来证明等式关系即可.这些关系的转化相信读者在前面的学习中已经掌握得很熟练了,这里需要进一步加强,下面总结一些常考证明问题的一般解题思路. (1)定值问题证明的解题策略:证明一个量或表达式的值与其中的变化因素无关,这些变化的因素可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等,这类问题的一般解法是使用变化的量表示求证目标,通过运算得知求证目标的取值与变化的量无关.当使用直线的斜率和截距表示直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题去解决. (2)恒等式证明问题的解题策略:将恒等式转化为常见的弦长、距离之比或向量关系等问题,进而转化为直线与圆锥曲线的交点坐标问题,利用设而不求思想及韦达定理即可证明, (3)几何图形性质证明的解题策略:利用几何图形性质与向量运算的关系,转化为向量的运算或直线的斜率关系,再用直线与圆锥曲线的交点坐标问题,利用设而不求思想及韦达定理即可证明. 证明三点共线 三点共线问题的证明策略一般有以下几种: ①斜率法:若过任意两点的直线的斜率都存在,通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线. ②向量法:利用向量共线定理证明三点共线. 反之,若给出以下情形之一: ①. ②存在实数,使.(3)若存在实数,,且,使,等于已知三点共线. 【例1】已知圆的方程为,圆与轴的交点为(点在点的上方),直线与圆相交于两点,若直线与直线交于点,求证:点三点共线. 【例2】点是椭圆的左、右顶点,过点的直线与椭圆交于两点(不与重合),若直线与直线相交于点.求证:点三点共线. 【例3】已知椭圆经过点分别为椭圆的左、右顶点,为椭圆上一点(不在坐标轴上),直线交轴于点为直线上一点,且.,求证:点三点共线. 证明圆的相关问题 1.点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种 (1)利用设而不求思想求出圆心坐标,然后计算圆心到点的距离并和半径比较得解. (2)向量法:通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系:如已知是圆的直径,是平面内一点,则点在圆内.点在圆外.点在圆上. (3)方程法:已知圆的方程,点,则 点在圆内. 点在圆上. 点在圆外. 2.四点共圆问题的解题策略 (1)利用四点构成的四边形的对角互补. (2)利用待定系数法求出过其中三点的圆的方程,然后证明第四点坐标满足圆的方程. 3.直线和圆问题的解题策略 (1)判定圆心到直线的距离和半径作比较. (2)圆和直线方程联立,利用判断. 【例1】设椭圆的左、右焦点分别为,过的直线与交于两点,椭圆的上顶点为.证明:当的斜率为时,点在以为直径的圆上. 【例2】设点分别为椭圆的左、右顶点,设为直线上不同于点的任意一点,若直线分别与椭圆相交于异于的点.证明:点在以为直径的圆内. 【例3】如下图所示,已知椭圆的两焦点分别为,椭圆上的动点满足,点分别为椭圆的左、右顶点,为坐标原点. (1)求椭圆的方程及离心率. (2)若直线与交于点与轴交于点与的交点为,求证：四点共圆. 证明角度问题 证明角度问题的一般解题策略: (1)向量法:利用向量点积判别一个角度为钝角、锐角还是直角.给出,相当于已知,即是直角;给出,相当于已知是钝角;给出,相当于已知是锐角. (2)斜率法:利用斜率是否相等或者相反来判别两个角度是否相等. 【例1】椭圆的右焦点为点,过定点的直线交椭圆于两点,连接并延长,交于,求证:. 【例2】圆的切线与椭圆:相交于两点.证明:为钝角. 证明线段问题 有些证明线段问题直接求解线段无法证明,通常需要转化为角度问题来证明. 【例1】过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于两点,的中点为.求证: 【例2】已知椭圆,左、右焦点分别为,若点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程. (2)若直线与椭圆交于两个不同的点,直线与轴分别交于两点,求证:. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24讲 证明问题的核心思路 证明问题是比较综合的一类,综合了前面所学的基本考题类型,综合性较强,解决这一类问题的核心在于是否能够准确地把需要证明的问题转化为等式关系,进而来证明等式关系即可.这些关系的转化相信读者在前面的学习中已经掌握得很熟练了,这里需要进一步加强,下面总结一些常考证明问题的一般解题思路. (1)定值问题证明的解题策略:证明一个量或表达式的值与其中的变化因素无关,这些变化的因素可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等,这类问题的一般解法是使用变化的量表示求证目标,通过运算得知求证目标的取值与变化的量无关.当使用直线的斜率和截距表示直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问