第26讲 焦点弦结论 讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第26讲 焦点弦结论 如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦．圆锥曲线的焦点弦问题涉及离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识．焦点弦是圆锥曲线中比较综合的考点，下面介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用． 椭圆焦点弦结论 结论：和分别为椭圆的左、右焦点，是过左焦点倾斜角为的弦，点在轴上方，是过右焦点倾斜角为的弦，点在轴上方，则焦半径公式：， ，， 焦点弦长公式：，． 焦点分弦公式：，． 时，． 同理可求得焦点在轴上的过焦点弦长为． 结论：椭圆过焦点弦长公式：． 【例1】如下图所示，已知倾斜角为的直线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，推导下面结论： (1)若(或，求离心率． (2)求弦的长． (3)求面积的取值范围． 【例2】直线经过椭圆右焦点，且与椭圆交于两点，若，求直线的方程． 【例3】设椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，直线的倾斜角为，求椭圆的离心率． 【例4】点分别为椭圆1的左、右焦点，若过点的直线交椭圆于两点，过点的直线交椭圆于，两点，且，求的最小值． 抛物线焦点弦结论 与抛物线焦点弦长相关的结论： 设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则 (1)． (2)，． (3)． (4)；． 若或，则． (5)． (6)． 【例1】已知抛物线y2＝4x，焦点为点F，过点作直线与抛物线交于两点，已知线段的中点的横坐标为3，求弦的长度． 【例2】已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，若直线的倾斜角为，求的值． 【例3】已知抛物线与直线交于两点，为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且面积为，求直线的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26讲 焦点弦结论 如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦．圆锥曲线的焦点弦问题涉及离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识．焦点弦是圆锥曲线中比较综合的考点，下面介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用． 椭圆焦点弦结论 结论：和分别为椭圆的左、右焦点，是过左焦点倾斜角为的弦，点在轴上方，是过右焦点倾斜角为的弦，点在轴上方，则焦半径公式：， ，， 焦点弦长公式：，． 焦点分弦公式：，． 时，． 同理可求得焦点在轴上的过焦点弦长为． 结论：椭圆过焦点弦长公式：． 【例1】如下图所示，已知倾斜角为的直线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，推导下面结论： (1)若(或，求离心率． (2)求弦的长． (3)求面积的取值范围． 【解析】(1)焦半径公式推导：在中，由余弦定理． 由得．同理，在中，． 焦点分弦公式推导： 若，(或)，则，即． (2)焦点弦公式推导：． (3)三角形面积公式推导：． 【例2】直线经过椭圆右焦点，且与椭圆交于两点，若，求直线的方程． 【解析】∵直线经过椭圆的右焦点，且，∴直线的斜率存在，设直线的㸯率为，且， 则直线的方程为，与椭圆的方程联立并消去得， 设点，点，则， ∴，解得． ∴直线的方程为或． 注意：可用焦点弦长公式验证答案：，可得． 解得． ∴直线的方程为或． 【例3】设椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，直线的倾斜角为，求椭圆的离心率． 【解析】设点的倾斜角为，，∴． 设，则，． 由得．联立得， 又，∴，∴，． 又，∴，， 即，即，． 注意：可用焦点分弦公式推导来验证答入：可得． 【例4】点分别为椭圆1的左、右焦点，若过点的直线交椭圆于两点，过点的直线交椭圆于，两点，且，求的最小值． 【解析】(1)当斜率为0时，． (2)当斜率不存在时，也有． (3)当斜率存在且不为0时，设斜率为，则方程为． 设点，点，联立得． 易知，且． 由弦长公式得． 设点，点． ∵，∴直线的斜率为，∴， ∴ ． ∵，当且仅当，即时，取等号，． 显然，∴的最小值为． 注意：可用焦点弦长公式验证答案： ． 抛物线焦点弦结论 与抛物线焦点弦长相关的结论： 设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则 (1)． (2)，． (3)． (4)；． 若或，则． (5)． (6)． 【例1】已知抛物线y2＝4x，焦点为点F，过点作直线与抛物线交于两点，已知线段的中点的横坐标为3，求弦的长度． 【解析】∵抛物线为，∴，设两点横坐标分别为， ∵线段的中点的横坐标为3，则，即， ∴． 【例2】已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，若直线的倾斜角为，求的值． 【解析】∵直线的倾斜角为，∴其斜率，又由于点，∴直线的方程为． 联立，消去得， 设点，点，则．． 用焦点弦公式验证：． 【例3】已知抛物线与直线交于两点，为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且面积为，求直线的方程． 【解析】设直线的方程为，则，则，∴， ∴． 联立，整理得，∴，∴， ∴，∴直线的方程为． 用抛物