第27讲 切点弦结论 讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第27讲 切点弦结论 平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫作曲线的切点弦方程，切点弦方程是解析几何中的热点问题，而切线往往和导函数相关，近几年高考数学的趋势也是把解析几何和导函数相结合作为压轴题，这类题目综合性强，难度一般较大，圆锥曲线的切线问题有两种处理思路： (1)导数法：将圆锥曲线方程化为函数y＝f(x)，利用导数法求出函数y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程，特别是焦点在y轴上的抛物线常用此法求切线． (2)判别式法：根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥曲线方程，化为关于x(或y)的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件：判别式△＝0，可解出切线方程． 圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法．下面介绍一些切线和切点弦相关的结论，来帮助快速解题． 一、圆相关的切线结论 结论一：点在圆上，过点作圆的切线方程为． 结论二：点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为． 结论三：点在圆内，过点作圆的弦(不过圆心)，分别过作圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线． 证明：由上述结论二可得过的圆的切点弦的直线方程为．又弦过点，即，则两条切线的交点的轨迹方程为直线． 二、一般圆相关的结论 结论四：点在圆上，过点作圆的切线方程为． 结论五：点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为． 结论六：点在圆内，过点作圆的弦(不过圆心)，分别过作圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为． 三、椭圆相关结论 结论七：点在椭圆上，过点作椭圆的切线方程为． 结论八：点在椭圆外，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为． 结论九：点在椭圆内，过点作椭圆的弦(不过椭圆中心)，分别过作椭圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线． 证明：由上述结论八可得过的椭圆的切点弦的直线方程为，又弦过点，即，则两条切线的交点的轨迹方程为直线． 四、双曲线相关结论 结论十：点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为． 结论十一：点在双曲线外，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为． 结论十二：点在双曲线内，过点作双曲线的弦(不过双曲线中心)，分别过作双曲线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线． 五、抛物线相关结论 结论十三：点在抛物线上，过点作抛物线的切线方程为． 结论十四：点在抛物线外，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为． 结论十五：点在抛物线内，过点作抛物线的弦，分别过作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线． 切线方程问题 【例1】若点为曲线1上任意一点．证明：直线与曲线恒有且只有一个公共点． 【例2】已知抛物线y2＝x的焦点为F，为抛物线上一点． 证明：过点的切线万程为：． 用切点弦结论解决定点、定值问题 【例1】已知椭圆，点为直线上的动点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点． 【例2】过椭圆上异于其顶点的任一点．作圆的切线，切点分别为不在坐标轴上)，若直线的横纵截距分别为，求证：为定值． 用切点弦结论解决最值问题 【例1】已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，过直线上一点作抛物线的两条切线，切点为，求与(O为抛物线的顶点)面积之和的最小值． 【例2】如下图所示，过圆上任意一点，作抛物线的两条切线，与抛物线相切于点，与轴分别交于点，求四边形面积的最大值． 用切点弦结论解决范围问题 【例1】经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，求面积的取值范围． 【例2】以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点，作圆的两条切线，设切点分别为，到直线与椭圆文于不同的两点，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27讲 切点弦结论 平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫作曲线的切点弦方程，切点弦方程是解析几何中的热点问题，而切线往往和导函数相关，近几年高考数学的趋势也是把解析几何和导函数相结合作为压轴题，这类题目综合性强，难度一般较大，圆锥曲线的切线问题有两种处理思路： (1)导数法：将圆锥曲线方程化为函数y＝f(x)，利用导数法求出函数y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程，特别是焦点在y轴上的抛物线常用此法求切线． (2)判别式法：根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥曲线方程，化为关于x(或y)的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件：判别式△＝0，可解出切线方程． 圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法．下面介绍一些切线和切点弦相关的结论，来帮助快速解题． 一、圆相关的切线结论 结论一：点在圆上，过点作圆的切线方程为． 结论二：点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为． 结论三：点在圆内，过点作圆的弦(不过圆心)，分别过作圆的切线，则两