第28讲 弦过定点 讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第28讲 弦过定点 【例1】设为直线上的动点，过作抛物线的两条切线，切点分别足．证明：直线过定点． 【例2】在平面直角坐标系xOy中，M为直线上动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为为的中点． (1)证明：轴． (2)直线是否线过定点?若是，求出这个定点的坐标．若不是，请说明理由． 顶点在定直线 【例1】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，过分别作抛物线的切线，两切线交于点．求顶：点在定直线． 【例2】已知抛物线的焦点为，交点的直线分别交抛物线于，两点，过点分别作抛物线的切线，．证明：的交点在定直线上． 切线垂直 【例1】已知抛物线的方程为，点是抛物线的准线上的任意一点．过点作抛物线的两条切线，切点分别为， 求证：切线和互相垂直． 【例2】设直线交抛物线于两点，分别过两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为点，求证：． 三角形面积问题 【例1】点为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，求面积的最小值． 【例2】已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，直线经过抛物线的焦点． (1)求抛物线的方程． (2)若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点．求面积的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第28讲 弦过定点 【例1】设为直线上的动点，过作抛物线的两条切线，切点分别足．证明：直线过定点． 【解析】证明：由题意可设点，点，点． 由题意知切线的斜率都存在，由，得，则，∴． 直线的方程为，即 ①． ∵在上，∴，即 ②． 将②代入①得，∴直线的方程为． 同理可得直线的方程为． ∵点在直线上，∴． 又点在直线上，∴． ∴直线的方程为，故直线过定点． 【例2】在平面直角坐标系xOy中，M为直线上动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为为的中点． (1)证明：轴． (2)直线是否线过定点?若是，求出这个定点的坐标．若不是，请说明理由． 【解析】(1)证明：设切点，， ∴切线的斜率为，切线：． 设点，则有，化简得． 同琾可得． ∴是方程的两根，∴． ，∴轴． (2)∵，∴． ∵，∴直线的方程为：，即． ∴直线过定点． 顶点在定直线 【例1】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，过分别作抛物线的切线，两切线交于点．求顶：点在定直线． 【解析】证明：抛物线的焦点为，∴设过抛物线的焦点的直线为． 设直线与抛物线的交点分别为点，点， 联立，消去得．根据韦达定理得． 抛物线，即二次函数，对函数求导数，得． ∴抛物线在点处的切线斜率为，可得切线方程为，化简得． 同理，得到抛物线在点处切线方程为．联立，得交点的纵坐标． ，，点A在定直线上． 【例2】已知抛物线的焦点为，交点的直线分别交抛物线于，两点，过点分别作抛物线的切线，．证明：的交点在定直线上． 【解析】证明：设点，由，得，定． ∴直线的方程为，直线的方程为． 联立解得，即直线的交点坐标为． ∵过焦点，由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为， 代入抛物线中，得，∴． ∴的交点在定直线上． 切线垂直 【例1】已知抛物线的方程为，点是抛物线的准线上的任意一点．过点作抛物线的两条切线，切点分别为， 求证：切线和互相垂直． 【解析】证明：设点坐标为，切线斜率为，过点的切线方程为．联立， 消去得．由得．记关于的一元二次方程的两根为，则分别为切线的斜率，由根与系数的关系知， ∴切线和互相垂直． 【例2】设直线交抛物线于两点，分别过两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为点，求证：． 【解析】证明：把直线代入，消去得，又， 由韦达定理得．由题意设切线的斜率为，切线的㪷率为，点坐标为， 由抛物线方程：，可得．∴， 则切线的方程为：)，切线的方程为：， 则①式一②式并利用韦达定理化简整理得，把代入上式整理得 ，则， ，则． 三角形面积问题 【例1】点为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，求面积的最小值． 【解析】设点，由题可知切线的斜率存在且不为0，∴可设切线方程为． 联立，消去得．由直线与抛物线相切可得， ∴，即，∴，解得． 可得切点坐标为，故可设． 由，可得，，∴，为直角三角形． ∴的面积．令切点到点的距离为， 则， ∴，． ∴． 当，即点的坐标为时， 的面积取得最小值1． 【例2】已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，直线经过抛物线的焦点． (1)求抛物线的方程． (2)若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点．求面积的最小值． 【解析】(1)设抛物线的方程为． ∵直线经过抛物线的焦点，∴，解得，∴抛物线的方程为． (2)设点，点．联立得． ， 由得． ∴抛物线经过点的切线方程是． 将代入上式整理得．同理可得抛物线经过点的切线方程为． 联立得，，∴到直线的距离 ． 的面积． ∵．当时，，∴面积的㻓小值为9． 学