第29讲 蒙日圆结论 第30讲 双切线模型的解题方法 讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第29讲 蒙日圆结论 蒙日圆定理的内容：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，该圆称为蒙日圆，其半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根，具体结论及证明如下： 结论一：曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆：． 证明：当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或㪷率为0时，可得点的坐标是或． 当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点的坐标是，且， ∴可设由线的过点的切线方程是． 联立得．由判别式得 ． ∵是这个关于的一元二线方程的两个根， ∴，进而可得证明成立． 结论二：双曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆． 结论三：抛物线的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上． 【例1】若动点为椭圆1外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程． 【例2】过圆上任意一点作椭圆的两条切线，求证：． 【例3】已知椭圆0)．称圆心在原点，半径为的圆为椭圆的“准圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为． (1)求椭圆的方程及其“准圆”方程． (2)点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点． ①当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明． ②求证：线段的长为定值． 第30讲 双切线模型的解题方法 所谓双切线问题，就是过一点做圆锥曲线的两条切线的问题，解决这一类问题我们通常用同构式，同构式的含义是结构相同变量不同的式子，比如满足，满足，这两个式子就是同构式，则可知点在直线上，这个同构式其实就是整体代换的思想，也是我们解决双切线问题的核心和关键． 双切线问题的解题步骤： ①根据曲线外一点设出切线方程． ②和曲线方程联立，求出判别式． ③整理出关于双切线斜率的同构方程． ④写出关于的韦达定理，并解题． 双切线定值问题 【例1】如下图所示，已知拋物线，点是抛物线的准线上任意一点，直线分别与拋物线相切于点，设直线的斜率分别为．证明：为定值． 【例2】为抛物线的准线上任一点，过点作抛物线在其上点处的切线，切点分别为，直线与直线分别交于两点，点的纵坐标分别为，求的值． 【例3】设是圆上任意一点，由引椭圆的两条切线．当两条切线的斜率都存在时，证明：两条切线斜率的积为定值． 双切线斜率引申问题 【例1】过椭圆上的任意一点，向圆引两条切线．若的斜率乘积恒为定值，求圆的面积． 【例2】是外的一点，过的直线均与相切，且的斜率之积为，记为的最小值，求的取值范围． 【例3】如下图所示，设点为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，若点为圆上的点，记两切线的斜率分别为，求的取值范围． 双切线交点弦问题 所谓双切线交点弦问题指的是由一点引出一个曲线的两条切线和另外的曲线有交点时引申出来的问题，解题时通常需要用来凑韦达定理． 题型一：双切线交点弦过定点问题 【例1】已知椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为，点为椭圆的左顶点． (1)求椭圆的标准方程． (2)设圆，过点作圆的两条切线分别交椭圆于点和，求证：直线过定点． 题型二：双切线交点弦定值问题 【例1】若直线过拋物线的焦点且与拋物线相交于两点，过点分别作抛物线的切线，切线与相交于点，求的值． 【例2】在平面直角坐标系中，已知椭圆，设点为椭圆上任意一点．过原点作圆的两条切线，分别交椭圆于两点． (1)若直线相互垂直，求的方程． (2)若直线斜率存在，并记为，求证：是一个定值． (3)是否为定值？若是，求出该值．若不是，请说明理由． 【例3】如下图所示，过椭圆上且位于轴左侧的一点，作圆的两条切线，分别交轴于点．是否存在点，使？若存在，求出点的坐标．若不存在，请说明理由． 题型三：双切线交点弦最值问题 【例1】如下图所示，已知椭圆的两个焦点，离心率为，点在椭圆上，且在边上，的周长等于． (1)求椭圆的标准方程． (2)过圆上任意一点作椭圆的两条切线和与圆交于点，求面积的最大值． 【例2】设是椭圆上的动点，过原点作圆的两条斜率存在的切线分别与椭圆交于点，求的最大值． 题型四：双切线交点弦范围问题 【例1】如下图所示，已知圆，过椭圆的上顶点作圆的两条切线交椭圆于两点，当圆的圆心在轴上移动且时，求的斜率的取值范围． 【例2】经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，直线分别与圆相交于异于点的两点． (1)求证：． (2)求的面积的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第29讲 蒙日圆结论 蒙日圆定理的内容：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，该圆称为蒙日圆，其半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根，具体结论及证明如下： 结论一：曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆：． 证明：当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或㪷率为0时，可