第31讲 硬解定理 第32讲 仿射变换秒杀椭圆问题 讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第31讲 硬解定理 在解析几何中，我们通常会涉及直线和圆锥曲线相交弦长的问题，我们前面的一般思路是联立方程，结合韦达定理，带入弦长公式，这样计算会相对较麻烦，我们在将圆锥曲线的方程与直线方程联立求解时发现了可消项的存在，整体消除并整理后可得到一般的弦长求解公式，该公式即为硬解定理． 硬解定理及其证明 若曲线 与直线 相交于 两点，则 ， ， ， ， ， 其中 为一与 同号的值， ． 定理简证 设曲线 与直线 0相交于 两点． 联立 得最终的二次方程： 应用韦达定理可得 ， ， ． 由 ， 可得 原点到直线 的距离： ． ． 令 ， ，则得到硬解定理： ， ， ， ， ． 定理说明 应用该定理于椭圆 时，应将 代入． 应用于双曲线 时，应将 代入，同时 不应为零，即 不为零． 求解 ， 即是求解 ，只需将 与 的值互换且 与 的值互换，可知 与 的值不会因此而改变． 注意：由于在高考中硬【解析】定理不可直接应用，学生应如此解答才可得全步㖩分： 联立两方程得 (二次式子) ∴ ①， ② ∴ (此时代入①②式得到一个大式子，但不必化简) 化简得 (偷偷地直接套公式，不必真化简)． 下面就可求弦长 ． 硬解定理求弦长 【例1】斜率为1的直线 与椭圆 相交于 两点，求 的最大值． 硬解定理求面积 【例1】过椭圆 的右焦点，倾斜角为 的直线交椭圆 于 两点，求 的面积． 【例2】设过点 的直线 与 相交于 两点，当 的面积为1时，求直线 的方程． 【例3】设直线 的倾斜角为 ，且与椭圆 交于 两点，求 为坐标原点)面积的最大值． 第32讲 仿射变换秒杀椭圆问题 在前面解析几何的讲解中，我们不难发现，在处理圆和直线相关问题的时候，总是比处理椭圆和直线相关问题简单，不论是求弦长、面积、弦中点还是求直线和椭圆的位置关系以及线段比例问题，椭圆的计算量和分析难度都远远超过了圆的计算量． 我们也很容易看出，椭圆其实就是一个被压扁了的圆，那么我如果把椭圆变成圆，按照圆的处理思路来解决椭圆的问题，是不是会简单一些呢？ 于是我们引入了“仿射变换”．“仿射变换”是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间，包括翻转、平移、折叠等．所谓“仿射变换”其实就是类似于函数中的伸缩变换，不过“仿射变换”变换的是坐标系本身，也就是向量空间，当然看成是图像坐标的变化更好理解一点，大家也不必深究，这里学会怎么快速解题即可． 基础知识 我们可以先从椭圆的图形来理解，椭圆看上去其实就是一个被拍扁了的圆，那我们能不能把这个椭圆再拉伸成圆呢？我们来看，怎么让一个椭圆经过“仿射变换”拉伸成一个圆． 椭圆 ，经仿射变换 后变成圆 ． 我们可以清楚地看到，其实就是对 轴进行了一个伸缩变换，变成了一个圆，我们也可以进行其他的仿射变换，如 变成单位圆 ．那么仿射变换之后的性质是什么呢？这是我们【解析】题的理论依据，其性质主要有以下几点： 性质一：同素性．仿射变换后几何要素不变，即原来是点，变换后还是点，原来是线，变换后还是线． 性质二：结合性．仿射变换后，在线上的点仍然在直线上，而不会离散． 性质三：面积比值不变性．仿射变换后与变换前对应封闭图形的面积比值不变即 EMBED Equation.DSMT4 ． 性质四：位置关系不变性．仿射变换前后的直线和圆锥曲线位置关系不变，即原来相切，变换后还相切，原来相交，变换后还相交． 性质五：斜率比值不变性．仿射变换后，对应的直线的斜率比值不变，即原来平行，变换后还是平行． 性质六：三点单比不变性．直线上三点分割的两条线段的比值，变换前后不变． 性质七：斜率乘积不变性．相交的两条直线斜率存在，则仿射变换前后斜率乘积之比不变，即 倍． 面积比值不变性 【例1】利用仿射变换来求解椭圆 的面积． 【例2】已知点 是椭圆 EMBED Equation.DSMT4 上的动点，点 到坐标原点的距离的最值之比为 ，点 到焦点的距离的最值之差的绝对值为2． (1)求椭圆 的方程． (2)若 为椭圆 的弦 的中点， EMBED Equation.DSMT4 ．证明： 的面积为定值． 【例3】已知椭圆 的离心率为 ，椭圆过点 ． (1)求椭圆 的标准方程． (2)设点 分别是椭圆 的左顶点和上顶点， 为椭圆 上异于 的两点，满足 ，判断 的面积是否为定值，并给出理由． 位置关系不变性 【例1】求证：直线 与椭圆 相切的充要条件是： ． 【例2】已知椭圆 的焦距为2，且长轴长与短轴长之比为 ． (1)求椭圆方程． (2)若不与坐标轴平行的直线 与椭圆相切于点 ， 为坐标原点，求直线 与直线 的斜率之积． 斜率乘积不变性 【例1】已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上． (1)求 的方程． (2)直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与