第37讲 不等式的证明 讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第37讲 不等式的证明 不等式问题是导函数考试的重点,也是难点.一方面是导函数的进一步应用,利用导函数研究出函数的单调性和最值,然后利用单调性来证明和解决不等式问题.反过来,也可以利用不等式来判定导函数的正负号进而来研究函数单调性,所以不等式在基础阶段起重要的衔接作用. 在后面的高级课程里面,不等式也是起着关键作用,特别是和放缩法结合来证明不等式,赋值法来找到零点区间等.在后面的极值点偏移和双变量问题都围绕着不等式展开,要好好体会关于不等式的证明,深刻理解不等式在导函数中的作用. 不等式问题的核心就是合理地构造函数,函数的构造将在后面章节讲解,这里要重点掌握证明不等式的核心思路.其次是理解不等式的含义是图像之间的上下位置关系,不等式的解是在图像上方时的取值范围. 证明无参不等式 不等式恒(能)成立问题的转换方法:若在区间上有最值,则 (1)恒成立:. (2)能成立:. 【例1】已知函数.证明:当时,. 【例2】已知函数,求证:. 【例3】 函数.证明:对任意正实数恒成立. 不等式恒成立求参数取值范围——参变分离 参变分离法解不等式恒成立求参数取值范围的步骤： 第一步:参变分离.若能参变分离,则将问题转化为:[或恒成立. 第二步:转换为最值.. 第三步:通过导函数求解函数最值,进而得到参数取值范围. 【例1】 已知函数若恒成立,求的取值范围. 【例2】已知函数时,,求的取值范围. 【例3】已知函数,若恒成立,求的取值范围. 【例4】已知函数(为自然对数的底数),若)时,恒成立,求的取值范围. 不等式恒成立求参数取值范围——分类讨论 分类讨论法解不等式恒成立求参数取值范围的步骤： 第一步:合理构造含参函数(构造函数的方法在后面章节讲). 第二步:把不等式恒成立转化为最值问题. 第三步:利用导函数讨论最值的方法,来讨论出函数最值. 【例1】已知函数，已知对任意恒成立,求的值. 【例2】已知函数. (1)讨论的单调性. (2)若,求的取值范围. 【例3】已知函数,当时,恒成立,求实数的取值范围. 【例4】已知函数. (1)讨论的单调性. (2)当时,,求的取值范围. 不等式能成立(存在性)求参数取值范围一一参变分离 参变分离法解不等式能成立求参数取值范围的步骤： 第一步:参变分离.存在使得能成立,则参变分离,将问题转化为:或恒成立. 第二步:转换为最值.. 第三步:通过导函数求解函数最值,进而得到参数取值范围. 【例1】设函数,若存在,使得不等式成立,求的取值范围. 【例2】设函数,若存在正数,使得成立,求实数的取值范围. 不等式能成立(存在性)求参数取值范围——分类讨论 分论讨论法求不等式能成立的参数取值范围的步聚: 第一步:合理构造含参函数(构造函数的方法在后面章节讲). 第二步:把不等式能否成立转化为最值问题. , . 第三步:利用导函数讨论最值的方法,来讨论出函数的最值. 【例1】已知函数,若在区间上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围. 【例2】 已知函数(为实常数),若存在,使得成立,求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第37讲 不等式的证明 不等式问题是导函数考试的重点,也是难点.一方面是导函数的进一步应用,利用导函数研究出函数的单调性和最值,然后利用单调性来证明和解决不等式问题.反过来,也可以利用不等式来判定导函数的正负号进而来研究函数单调性,所以不等式在基础阶段起重要的衔接作用. 在后面的高级课程里面,不等式也是起着关键作用,特别是和放缩法结合来证明不等式,赋值法来找到零点区间等.在后面的极值点偏移和双变量问题都围绕着不等式展开,要好好体会关于不等式的证明,深刻理解不等式在导函数中的作用. 不等式问题的核心就是合理地构造函数,函数的构造将在后面章节讲解,这里要重点掌握证明不等式的核心思路.其次是理解不等式的含义是图像之间的上下位置关系,不等式的解是在图像上方时的取值范围. 证明无参不等式 不等式恒(能)成立问题的转换方法:若在区间上有最值,则 (1)恒成立:. (2)能成立:. 【例1】已知函数.证明:当时,. 【解析】证明：函数,则 令,则, 令得. 当时,, 当时,, 在处取得最小值. . . 在单调递增. . 时,. 【例2】已知函数,求证:. 【解析】证明：由得.整理得, 化简得. 令, 则. 当时,单调递减;当时,单调递增. ,即恒成立. 恒成立. 【例3】 函数.证明:对任意正实数恒成立. 【解析】证明：由得 对任意正实数恒成立. 设, 则. 当时,;当时,. 在上单调递增,在上单调递减. 时,在处有最大值. 对任意正实数恒成立,即对任意正实数恒成立, 即,原命题得证. 不等式恒成立求参数取值范围——参变分离 参变分离法解不等式恒成立求参数取值范围的步骤： 第一步:参变分离.若能参