第39讲 构造辅助函数的方法 讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第39讲 构造辅助函数的方法 对于证明与函数有关的不等式、零点或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取值范围,讨论一些方程解的个数等类型问题时,常常需要构造辅助函数,并通过求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决.题目本身特点不同,所构造的函数可有多种形式,解题的繁简程度也不同,所以为了构造出合理的函数,方便我们解题,我们需要遵循一大构造原则是“导函数可判定原则”. 所谓的“导函数可判定原则”就是所构造的函数,求导之后要能够判定出函数的正负号,从而研究原函数单调性,如果无法判定导函数正负号,则说明原函数构造得有问题,需要重新构造. 本节会总结出一些常用的构造函数的方法,如果解题过程中求导很复杂或者进行不下去就需要思考函数构造得是否合理,而且在解题过程中函数的构造方式有很多种,要选择合理的构造方式,而所要遵循的就是“导函数可判定原则”. 构造法一:移项作差构造函数 移项作差构造是我们最常用的方法,当试题中给出简单的基本初等函数,例如,进而证明在某个取值范围内不等式成立时,可以通过移项作差,构造函数,进而证明即可,在求最值的过程中,可以利用导数作为工具. 注意:下面的例题用到隐零点相关的内容,读者如果有疑惑可以在看完后面隐零点部分的章节后再回来看. 【例1】已知函数,其中,求实数的取值范围. 【例2】已知函数(其中为自然对数的底数),求证:. 构造法二：等价变形构造函数 通常我们对不等式移项构造出来的函数无法直接判定导函数的正负号,所以需要利用不等式性质对所证不等式进行等价变形,先做一个简化,再构造函数,而简化的原则通常是“减少分式,去掉分母”,构造出一些常用的,可判定的函数. 【例1】设函数.证明:当时,. 【例2】已知函数,若对任意的恒成立,求的取值范围. 构造法三:拆分转化构造函数 有些函数经直接移项作差构造出来的新函数,求导后无法直接判断导函数的正负号,变形后也不行,则需要利用不等式性质对所证不等式拆分为的形式,若能证明,即可得.本方法的优点在于对的项进行分割变形,可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式.但缺点是局限性较强,如果与不满足,则无法通过这种方式证明. 【例1】求证：. 【例2】设函数，其中为正实数. (1)若不等式恒成立,求实数的取值范围. (2)当时.证明: 构造法四：整体代换构造函数 在处理函数时,如果函数有相同的部分,或者可以凑出相同的部分,则可以整体代换达到简化函数的目的,进而提高运算效率.这里我们常用的一个变形结构是,令来实现指对互化的整体代换. 【例1】已知函数,求证:. 【例2】设.证明是增函数，且（e为自然对数的底数） 【例3】已知函数,若有两个零点,求实数的取值范围。 构造法五:同构替换构造函数 在导函数中,有一部分不等式问题的左、右两边是由同种结构的函数构成,我们解决这一类问题就需要找到同构式,构造原函数,利用单调性简化不等式,进而解决问题,这一方法,称之为同构法,如,若能等价变形为,然后利用的单调性,[若递增,再转化为,这种方法我们就可以称为同构不等式(等号成立时,称为同构方程),简称同构式. 【例1】求证:当时,1). 【例2】知函数,若,时,恒成立,求实数的取值范围. 【例3】已知函数,当时,求证:当时,恒成立. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第39讲 构造辅助函数的方法 对于证明与函数有关的不等式、零点或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取值范围,讨论一些方程解的个数等类型问题时,常常需要构造辅助函数,并通过求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决.题目本身特点不同,所构造的函数可有多种形式,解题的繁简程度也不同,所以为了构造出合理的函数,方便我们解题,我们需要遵循一大构造原则是“导函数可判定原则”. 所谓的“导函数可判定原则”就是所构造的函数,求导之后要能够判定出函数的正负号,从而研究原函数单调性,如果无法判定导函数正负号,则说明原函数构造得有问题,需要重新构造. 本节会总结出一些常用的构造函数的方法,如果解题过程中求导很复杂或者进行不下去就需要思考函数构造得是否合理,而且在解题过程中函数的构造方式有很多种,要选择合理的构造方式,而所要遵循的就是“导函数可判定原则”. 构造法一:移项作差构造函数 移项作差构造是我们最常用的方法,当试题中给出简单的基本初等函数,例如,进而证明在某个取值范围内不等式成立时,可以通过移项作差,构造函数,进而证明即可,在求最值的过程中,可以利用导数作为工具. 注意:下面的例题用到隐零点相关的内容,读者如果有疑惑可以在看完后面隐零点部分的章节后再回来看. 【例1】已知函数,其中,求实数的取值范围. 【解析】时,不等式为,对任意实数都成立. 当时:时,不等式化为,令, 则. 由,令, 即在上单调递增,. . 若,即,则在上恒成立,在上递增. ,不等式0成立.