第40讲 隐零点 讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第40讲 隐零点 利用导数解决函数综合性问题最终都会归于函数单调性的判断,而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系,导函数零点的判断、数值上的精确求解或估计,是导数综合应用中最核心的问题.导函数的零点,根据其数值计算的差异可分为以下两类: (1)数值上能够精确求解的,称为显零点. (2)能够判断其存在但是无法直接表示的,称为隐零点. 对于隐零点问题,由于涉及灵活的代数变形技巧、抽象缜密的逻辑判断和巧妙的不等式应用,对学生的综合能力要求比较高,往往是考查的难点. 我们一般可对隐零点“设而不求”,通过一种整体的代换来过渡,再结合其他条件,从而最终解决问题,一般操作步骤如下: 第一步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,列出一阶导函数零点方程,并结合的单调性,通过取特殊值逼近的方式得到零点的范围. 第二步:以一阶导函数零点为分界点,说明导函数在左、右两边的正、负号,进而得到的极值表达式. 第三步:将零点方程适当变形,整体代人极值式子进行化简证明. 有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小.导函数零点虽然隐形,但只要抓住特征(零点方程),判断其范围(用零点存在性定理),最后整体代人即可.请注意,进行代数式的替换过程中,尽可能将指数、对数函数式用幂函数替换,这是简化函数的关键. 无参隐零点问题 隐零点证明无参不等式恒成立问题:已知无参函数,导函数方程的根存在,却无法精确求出,其一般解题步骤为: 第一步:求导,判定一阶导函数的单调性,并设方程的根为. 第二步:写出零点等式成立. 第三步:取点找出注意确定的合适范围。 第四步:把零点等式变形反带回,进行简化,从而求解. 【例1】已知函数.证明:. 【例2】已知函数,求证:. 【例3】已知函数. 证明:存在唯一的极大值点,且. 含参隐零点问题 含参函数的隐零点问题:已知含参函数,其中为参数,导函数方程0的根存在,却无法求出,其解题步骤为: 第一步:设方程的根为. 第二步:写出零点等式成立时,含的关系式. 第三步:取点找出的合适范围,该范围往往和有关. 第四步:反带回进行求解,通常可以消参. 【例1】设函数. (1)讨论的导函数零点的个数. (2)证明:当时. 【例2】已知函数.当时,证明:. 【例3】已知函数. (1)求的单调区间. (2)证明:当时,方程在区间上只有一个零点. (3)设,其中,若恒成立,求的取值范围. 隐零点求最值 利用隐零点求最值的步骤: 第一步:求出一阶导函数,并判定其单调性(也可利用二阶导函数来判定). 第二步:利用零点存在定理判定存在零点,写出零点方程,并确定零点取值范围. 第三步:通常极值就是最值,写出最值表达式. 第四步:零点等式变形代人最值表达式,这里常用到一个指对互化的变形方式: 【例1】求函数的最大值. 【例2】求0时的最小值. 【例3】求的最大值. 隐零点求参数取值范——参变分离 参变分离法求解含参不等式恒成立,求参数取值范围问题,就是按参变分离的基本步骤.不同的只是分离参数之后求最值时,无法精确地求出极值,只能用隐零点的方式求出一个范围,所以所求最值也只是一个范围.这一类题目,会有一个明显的特征,就是所求参数通常为正整数,只有这样,参数才能取到一个确定的值。 【例1】已知函数,若对任意的恒成立,求正整数的最大值. 【例2】已知函数,,若,且不等式在上恒成立,求的最小值. 【例3】知函数，若恒成立,求实数的取值范围. 隐零点缩小参数取值范围——分类讨论 分类讨论法求解含参不等式恒成立,求参数取值范围问题,也是按前面的分类讨论的基本步骤.不同的是,在验证某一类参数范围是否满足条件时,要利用隐零点来辅助验证,从而排除并缩小范围. 【例1】若不等式在上恒成立,求的取值范围. 【例2】设函数),对任意恒成立,求实数的取值范围. 【例3】已知1),,若恒成立,求实数的取值范围. 【例4】已知函数,若对任意恒有不等式成立,求实数的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第40讲 隐零点 利用导数解决函数综合性问题最终都会归于函数单调性的判断,而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系,导函数零点的判断、数值上的精确求解或估计,是导数综合应用中最核心的问题.导函数的零点,根据其数值计算的差异可分为以下两类: (1)数值上能够精确求解的,称为显零点. (2)能够判断其存在但是无法直接表示的,称为隐零点. 对于隐零点问题,由于涉及灵活的代数变形技巧、抽象缜密的逻辑判断和巧妙的不等式应用,对学生的综合能力要求比较高,往往是考查的难点. 我们一般可对隐零点“设而不求”,通过一种整体的代换来过渡,再结合其他条件,从而最终解决问题,一般操作步骤如下: 第一步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,列出一阶导函数零点方程,并结合的单调性,通过取特殊值逼近的方式得到零点的范