第42讲 系数放缩 讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第42讲 系数放缩 若已知，其中且是的系数，要证明恒成立，只需要证 明即可，也就是把作为的系数来实现放缩，这种放缩方式，称之为系数放缩. 【例1】证明：. 【例2】已知函数，设，其中为的导函数.证明:对 . 【例3】已知函数.若，求证:. 已证不等式放缩 这一类题目无法直接用常用的不等式进行放缩，但其题目特征也比较明显，通常第一小问会产生一个 不等式，它可用于后面小问的放缩，而且最后一小问的不等式证明一般会比较麻烦. 【例1】 已知函数，. (1)当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围. (2)当时，证明: 【例2】已知函数. (1) 讨论函数的单调性. （2）证明: 对任意恒成立. 【例3】 已知（）. (1) 讨论函数的单调性； (2) 设，对任意恒成立，求整数的最大值； (3) 求证:当时，. 凹凸性切线放缩 如果要证明的两个函数一个是凹函数(向下凸出的函数)，一个是凸函数（向上凸出的函数)， 则证明时，去找它们的共切线，只需要证明即可，这个证明过程称为凹凸性切线放缩. 【例1】已知函数，证明:. 【例2】已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求证:当时，. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第42讲 系数放缩 若已知，其中且是的系数，要证明恒成立，只需要证 明即可，也就是把作为的系数来实现放缩，这种放缩方式，称之为系数放缩. 【例1】证明：. 【解析】证明：所证不等式等价于. 由三角不等式可得，只需证明即可. 设. 在上单调递减，在上单调递增. ，即 由三角不等式可得. ，原不等式得证. 【例2】已知函数，设，其中为的导函数.证明:对 . 【解析】证明 ：. 所证不等式等价于: . 设，则. 令. 在单调递增，在单调递减. . 若要证，只需证. 设，令解得 . 在单调递增. .. ，即原不等式得证. 【例3】已知函数.若，求证:. 【解析】证明： 要证， 即证. 记，则. 令得 . 当时， 单调递增. 当时，单调递减. 令，则， 在上单调递减. 则， 即恒成立. 恒成立. 已证不等式放缩 这一类题目无法直接用常用的不等式进行放缩，但其题目特征也比较明显，通常第一小问会产生一个 不等式，它可用于后面小问的放缩，而且最后一小问的不等式证明一般会比较麻烦. 【例1】 已知函数，. (1)当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围. (2)当时，证明: 【解析】 (1) 由得恒成立. 令，则， 在上单调递减，在上单调递增. . ，即，故的取值范围是. (2)证明 由（1）题知，时，有， ① 要证，可证，只需证. 易证(证明略)，. ② 要证，可证. 易证(证明略)，由于， . 综上所述，当时，. 【例2】已知函数. (1) 讨论函数的单调性. （2）证明: 对任意恒成立. 【解析】 (1) ，定义域为， . ， 函数在上单调递增，且. 在上，.在上，. 函数在上单调递减，在上单调递增. (2) 证明 由(1)题可知，}，即. 要证，只需证，即证. 令，则.当时，单调递增. 当时单调递减. 故 ，即. 对任意恒成立. 【例3】 已知（）. (1) 讨论函数的单调性； (2) 设，对任意恒成立，求整数的最大值； (3) 求证:当时，. 【解析】 (1) ， ① 若，则，函数在上为增函数. ② 若，由可得.由可得. 因此在上为增函数，在上为减函数. (2) 若，则，不满足题意. 若，则在 上为增函数， 在上为减函数. 设，则. ，在上单调递增. 且 . 故存在唯一，使得. 当时，. 当 时，. 故，解得，又，. 综上，的最大值为. (3)证明由(2)题可知，时，. . . 记，则. 记，则. 由可得. ； 函数在上单调递减，在上单调递增. . .，函数 在上单调递增. 即 凹凸性切线放缩 如果要证明的两个函数一个是凹函数(向下凸出的函数)，一个是凸函数（向上凸出的函数)， 则证明时，去找它们的共切线，只需要证明即可，这个证明过程称为凹凸性切线放缩. 【例1】已知函数，证明:. 【解析】证明：将原式变形为，两个函数有公共点， 函数在的切线为.在的切线也是 ，两个曲线一个上凸，一个下凸，. 和图像，如下图所示. 【例2】已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求证:当时，. 【解析】 (1) ，由题设得. 曲线在处的切线方程为，即. (2) 证明令，则， 当时，.当时，. 函数在上单调递减，在上单调递增， ， 函数在上单调递增，且为凹函数. 由于曲线在处的切线方程为，可猜测函数的图像恒在切线的上方. 先证明当时，. 设，则. 当时，.当时，， 在上单调递减，在上单调递增. 由. . 存在，使得， 当时，0 . 当 时，. 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递