第43讲 放缩法赋值找零点 第44讲 数列型不等式 讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第43讲 放缩法赋值找零点 在基础篇我们学过了零点问题，会利用函数单调性和零点存在定理来确定零点，要应用零点存在定理就必须找到一个点的值大于零或者小于零，而这个点不需要很精确，就可以完美地使用放缩法来近似计算.可将这个找点判定正负号的过程称为赋值.常用的赋值方法如下： 1.直接常数赋值法：代入一个常数点就可以判定出函数值的正负号，这个点也通常是一些特殊点，比如等. 2. 参数放缩赋值法:有时代入常数点后，会得到一个含参数的函数值，比如，这时， 无法直接判定出正负号，这个时候就需要利用参数赋值，结合放缩法来判定正负号. 3. 双量最值放缩赋值法:参数赋值和常数赋值都无法直接得到点，就需要一个既有参变量(参数)又有常量(常数)的范围点，通过两个量取最值的方式放缩，来判定出正负号. 参数放缩赋值法 参数放缩法赋值是放缩法的一个应用，难度较大，当然下面的很多例题用参变分离法会非常简单，当然这里为了讲解赋值法，就不考虑参变分离法了.这类赋值法的一般解题思路如下： 第一步:判定可行性，在赋值之前，需要利用极限来判定赋值的可行性，赋值也只不过是极限更精确的取点方式，所以如果极限判定出不存在零点就不用白费功夫了.前面讲过，极限也可以作为粗略的解题步骤. 第二步:放缩找点，结合函数单调性和前面所学的放缩法找到含参赋值点，这里需要注意，找大于零的点，则需往小放缩，找小于零的点，则往大放缩. 第三步:赋值验证，含参赋值点不仅要满足不等式，还要满足自身取值范围. 【例1】函数，若曲线在点处的切线与有且只有一个公共点，求正数的取值范围. 【例2】函数.若方程有解，求的取值范围. 【例3】已知函数，若在上有且只有一个零点，求的取值范围. 【例4】 函数，其中为实数，求的零点个数，并证明你的结论. 双量最值放缩赋值法 如果用参数赋值法找点实在找不到，而用直接常数赋值法也不行，我们需要把两者结合起来取最值， 结合函数单调性来判定函数的符号. 【例1】设函数，讨论零点的个数. 【例2】函数有两个零点，求的取值范围. 第44讲 数列型不等式 数列型不等式的证明问题常常会与导数结合起来，解决这一类问题最重要的就是要明白数列的本质，即数列是一种非连续性函数.也就是说，数列本质上是函数，但具有非连续性，从图像上看，数列就是函数图形上的一些不连续的点. 既然说数列是函数，那么我们解决数列型不等式，就可以把数列作为一个函数，然后运用前面所讲的关于函数不等式的方法来解决，所要注意的就是数列的非连续性，即数列的自变量只能取正整数. 证明数列不等式 在讲解数列不等式的证明时，我们先补充个求和符号：.其中，是数列的通项，是数列的前项和，是前项和的简写. 题型：证明. 步骤：核心是通过证明通项不等式，进而证明前项和不等式，一般步骤如下. 首先对数降级：通常对不等式两边取对数，把乘法运算降级为加法运算. 第一步：算通项公式.由前项和不等式，通过与 计算得到通项不等式. 第二步：构造函数.根据通项不等式，整体代换，构造函数不等式：. 第三步：证明函数不等式. 【例1】 证明：对任意的正整数，不等式都成立. 【例2】求证： . 已知函数不等式证明数列不等式 这一类题目通常在第一小问就已经证明了函数不等式，然后在第二小问证明数列不等式时，就可以直接利用函数不等式，其关键是利用已经证明的函数不等式来整体代换并证明通项不等式，进而求和并证明前项和. 【例1】 已知函数.证明： （1）. （2）对于任意的正整数，不等式都成立. 【例2】已知函数. (1) 求函数的最大值. (2) 证明：. 【例3】已知函数，其中. （1）讨论函数的单调性.并求当恒成立时，实数的取值范围. （2）求证：对任意正整数，都有(其中为自然对数的底数). 【例4】已知（为自然对数的底数). (1) 求证：恒成立. (2) 设是正整数，对任意正整数，，求的最小值. 裂项放缩证明数列不等式 这一类题目不仅需要结合函数不等式来证明数列不等式，还需要对数列不等式进行放缩，下面是与求和相关的不等式的放缩技巧和放缩变形结构. 一、放缩技巧 (1) 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手. (2) 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这决定对通项公式是放大还是缩小(应与所证的不等号同向). (3) 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列靠拢. (4) 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路可供选择： 第一个是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式. 第二个就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式进行尝试. 二、常见的放缩变