第45讲 极值点偏移 讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第45讲 极值点偏移 前面所学内容可以归结为一元等式或者不等式问题，从本节开始要进入双元问题，也可以概括为双元等式或者双元不等式问题，其中极值点偏移是比较简单的，处理方法也相对容易，但其中体现的整体换元思想是需要认真体会的，这也是本书一贯强调的思想，难题就是把简单题整体代换一下，这是出题套路，也是解题之法. 在学习极值点偏移的时候，同样要从概念、题型、解法的逻辑来学习.下面讲解极值点偏移的一些概念和定理，相对比较抽象，如果开始不太看得明白，可以先做几个题目，再反复理解! 极值点偏移的相关推导 一、极值点偏移的含义 极值点不偏移: 函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称，必为的极值点.若的两根的中点为，则刚好有 ，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.简单来说，如果图像关于极值点处对称，则不偏移，否则偏移. 极值点偏移: 若则为极值点偏移，单峰函数定义域内任意不同的实数满足 ，则与极值点必有确定的大小关系: 若，则称为极值点左偏，即极值点在两根中点的左边. 若，则称为极值点右偏，即极值点在两根中点的右边. 二、极值点偏移的判定定理 求证:对于可导函数，在上只有一个极大值点，方程的解分别为， 且. (1) 若，则，即函数在上极大值点右偏. (2) 若，则，即函数在上极小值点左偏. 证明: (1) 对于可导函数，在上只有一个极大值点，则函数的单调递增区间为，单调递减区间为.由于，有，且. 又，，即函数极大值点右偏. (2)极小值可自行推导. 三、对数平均不等式的介绍与证明 两个正数和的对数平均定义: 对数平均不等式为:. 取等条件:当且仅当时，等号成立. 只证:当时，，不失一般性，可设. 证明: (1) 先证: ① ①式(其中). 构造函数:1)，则. 当时，， 函数在上单调递减. 故，不等式①成立. (2) 再证:. ② ②式(其中. 构造函数1)，则. 当时，函数在上单调递增，故，从而不等式②成立. 综合① ②知，对，都有对数平均不等式成立， 当且仅当时，等号成立. 无参极值点偏移的方法总结 关于极值点偏移常考的题型如下: 题型一:若函数存在两个零点，且，求证:为函数的极值点. 题型二:若函数中存在且满足，求证:为函数 的极值点. 对于极值点偏移来说，所有方法的核心都是为了把双元问题转化为一元问题，那么在转换过程中常用如下方法: 证法一:单调性放缩转化法，一般有两种构造函数的方式 构造方式一: 非对称构造 (1) 构造函数. (2) 判断函数的单调性. (3) 证明[或即[或. (4) 结合函数的单调性，通过整体代换即可证，或. 构造方式二: 对称构造 (1) 求出函数的极值点，及单调区间. (2) 作差比较:构造一元差函数. (3) 确定函数的单调性. (4) 结合，判断的符号，从而确定的大小关系，结合函数的单调性，通过整体代换即可证，或. 证法二: 引参消元法，一般有两种引参方式 引参方式一: 差式引参 一般步骤如下: 第一步:根据和的关系式，一般为，通过变形，构造出. 第二步:通过整体代换，令，引入参数，如果可以直接构造一元函数就直接计算，如果不行再进入第三步. 第三步:用参数表示出变量，进而构造一元函数. 第四步:按照一元函数处理方式处理. 引参方式二: 齐次引参消元 一般步骤如下: 第一步:先根据已知条件确定出变量，满足的等式，并变形出，然后令. 第二步:用参数表示出变量，进而构造一元函数，将关于待求的问题转化为关于 的函数问题. 第三步:构造关于的一元函数求解. 证法三:齐次分式整体代换消元法 一般步骤如下: 第一步:先根据已知条件确定出变量，满足的条件. 第二步:通过将所有涉及的式子转化为关于的式子，将问题转化为关于自变量（亦可）的函数问题. 第三步:整体代换，构造关于的一元函数求解. 证法四:对数平均不等式法 一般步骤如下: 第一步:通过等式两边同取自然对数或相减等配凑出“”及“”. 第二步:通过等式两边同除以“”构建对数平均数. 第三步:利用对数平均不等式将转化为后再证明，或. 【例1】已知函数，如果，且，证明: . 【例2】已知函数,上存在两个不相等的数,满足,求证:. 含参极值点偏移 含参极值点偏移问题和无参的证法类似,参数可分为在函数中和在不等式中两种类型,可以通过参变分离,把含参问题转换为无参问题,其处理思路和上一节一样,注意将问题转化为,然后构造函数,利用函数的单调性可得,从而得出结论. 含参型一:函数含参极值点偏移问题 【例1】已知函数有两个零点. (1)求的取值范围. (2)设是的两个零点,证明:. 含参型二:不等式含参极值点偏移问题 【例1】已知函数,. (1)求函数的单调区间. (2)若存在两个不相等的正数,满足,求证:. 【例2】已知,.若有两个极