第46讲 双变量问题 讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第46讲 双变量问题 经过前面对极值点偏移的学习,我们对双元问题的解决有了一个深刻的认识,本节讲解一般的双元问题,其核心思路和极值点偏移的核心思路差不多,都需要把双元问题转换成一元问题来解决,其转化方法类似前面极值点偏移总结的方法. 韦达代换消元 韦达代换消元是解决双变量问题的常用方法,其题目特征是所求的双变量为一元二次方程的两个解,其一般解题步骤为: 第一步:找到两个变量的关系,. 第二步:统一变量,把要求解的双变量问题凑出韦达,把根与系数的关系带进去,消掉参数和多余变量,统一为一元变量. 第三步:构造函数求【解析】,构造一元函数,即按照一元函数的方式求解问题. 【例1】函数,若,函数有两个极值点,,求的取值范围. 【例2】函数. (1) 讨论的单调性. (2)若存在两个极值点,.证明:. 【例3】函数,且存在两个极值点,求证:. 【例4】函数. (1)若时在上的最小值是,求. (2)若,且是的两个极值点.证明:(其中为自然对数的底数) 差式引参消元 所谓差式引参消元就是找这样的作差的式子,整体代换从而实现统一变量,其一般解题步骤和“极值点偏移”的类似,通过变形,构造出,令,引人参数,用参数表示出变量,进而构造出一元函数. 【例1】已知函数,若,且,求证:. 【例2】已知函数,若的两个零点为且,求的取值范围. 齐次分式引参消元 所谓齐次分式引参消元,其步骤与“极值点偏移”的类似,先根据已知条件变形出,然后令,用参数表示出变量,进而构造一元函数,将关于待求的问题转化为的函数问题. 【例1】已知函数. (1)求函数的最大值. (2)若函数存在两个零点.证明. 【例2】已知函数有两个极值点,设函数的两个极值点分别为,且,求实数的取值范围. 齐次分式整体代换消元 所谓齐次分式整体代换消元就是变形出齐次分式,然后整体代换得出一元函数求解,一般步骤和“极值点偏移”的类似,通过将所有涉及的式子转化为关于的式子,整体代换,构造关于的一元函数来求解. 【例1】已知函数为常数,若函数有两个零点.证明:. 【例2】设,若有两个相异零点,且,求证:. 【例3】已知函数R)有两个零点. (1)求实数的取值范围. (2)求证:. 【例4】 设函数,若且方程,在上有两个不相等的实数根,,求证:. 同构函数单调性证明 同构函数:变量分离后若结构相同,则可将相同的结构构造一个函数,进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式. 【例1】已知函数是函数图像上任意两点,且满足,求实数的取值范围. 【例2】已知函数,若,证明:对任意恒成立. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第46讲 双变量问题 经过前面对极值点偏移的学习,我们对双元问题的解决有了一个深刻的认识,本节讲解一般的双元问题,其核心思路和极值点偏移的核心思路差不多,都需要把双元问题转换成一元问题来解决,其转化方法类似前面极值点偏移总结的方法. 韦达代换消元 韦达代换消元是解决双变量问题的常用方法,其题目特征是所求的双变量为一元二次方程的两个解,其一般解题步骤为: 第一步:找到两个变量的关系,. 第二步:统一变量,把要求解的双变量问题凑出韦达,把根与系数的关系带进去,消掉参数和多余变量,统一为一元变量. 第三步:构造函数求【解析】,构造一元函数,即按照一元函数的方式求解问题. 【例1】函数,若,函数有两个极值点,,求的取值范围. 【解析】的定义域为. 设方程,即得两根为,且. . . 【例2】函数. (1) 讨论的单调性. (2)若存在两个极值点,.证明:. 【解析】(1).. 当时,,此时在上单调递减. 当时,由【解析】得或. 是增函数,此时在和上单调递减,在上单调递增. (2)证明由(1)题知, . 令, . 在上是减函数, 【例3】函数,且存在两个极值点,求证:. 【解析】证明由,. 存在两个极值点,. 令得,是方程的两个根., 且. 不妨设,则, .令,. 在上单调递增.. 【例4】函数. (1)若时在上的最小值是,求. (2)若,且是的两个极值点.证明:(其中为自然对数的底数) 【解析】(1) 定义域是. 令,对称轴., 当时,..在上单调递增., 解得. (2)证明由有两个极值点,则在上有2个不等的实根,即在上有2个不等的实根,则,解得.. 当时, . 令,, 令, 当时,,在单调递减.. 即 .在上单调递减.. 原式成立, 即. 差式引参消元 所谓差式引参消元就是找这样的作差的式子,整体代换从而实现统一变量,其一般解题步骤和“极值点偏移”的类似,通过变形,构造出,令,引人参数,用参数表示出变量,进而构造出一元函数. 【例1】已知函数,若,且,求证:. 【解析】证明 由,且得.. 设,则. 可得.要证,即证..只需证. 设, 则. 令,则.