第48讲 导数中的端点效应法讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第48讲 导数中的端点效应法 本节主要讲解高考题的解题技巧:端点效应.“端点效应”,是指在处理“定区间上函数不等式恒成立,求参量取值范围”一类问题中,将变量在端点处的值代人,求出参量的取值范围(题设成立的必要条件),再在所求出的参量的范围内进行分类讨论,求解验证题设成立时参量所满足的充分条件.“端点效应”法最大的优点就是,能够缩小参量的范围,避开不必要的讨论,为我们在解题中节约时间,做到快解.它也是高考数学中一种常用的技巧方法. 端点效应的多维度表达 第一层维度:若(含参数)在上恒成立,则在区间端点处也必须成立,即. 第二层维度:若,要使(含参数)在上恒成立,则必然有. 第三层维度:若要使0(含参数)在上恒成立,则必然有(函数凹凸性证明). 第四层维度、第五层维度放心,不会考). 端点效应缩小必要性范围 利用端点效应法的一般解题步骤： 第一步:必要性缩小范围,利用端点效 应,我们可以得出参数的一个取值范围,虽然很多考题中,我们得到的范围就是最终的结果,但要注意的是这个范围是必要性范围,实际范围可能会更小,不过有了这个范围之后,可以大大降低我们后续的思考难度,减少解题步骤,接下来,继续正常求导,只是需要让刚刚得到的参数范围帮帮忙. 第二步:充分性验证或者确定结果,有了前面的必要性范围之后,我们就按照常规的恒成立问题的解题思路求解即可,利用反证法验证或者常规讨论都行. 【例1】已知函数,若对任意0恒 成立,求实数的取值范围. 法二:端点效应法 第一步:必要性缩小范围. 要使,在上恒成立,则需要在端点处也成立,即恒成立. ∵,则由端点效应可知有成立. 又∵,则由端点效应可知：有成立. 又∵,则可得. 第二步:充分性验证,见法一. 【例2】已知函数,若在上恒成立,求实数的取值范围. 【例3】已知函数,若当时,,求的取值范围. 法二:端点效应法 第一步:必要性缩小范围.要使在上恒成立,则需要在端点处也成立,即恒成立. ∵,则由端点效应可知有成立, 又∵,则0可得.第二步:充分性验证,见法一. 【例4】已知函数,当时,,求实数的取值范围. 法二:端点效应 第一步:利用端点效应得参数必要性范围. ,当时,恒成立. ∵,又,即. ∵,又,可得. 第二步:充分性验证结果略. 拉格朗日中值定理在高考中的应用 拉格朗日中值定理是高等数学的内容,在高中数学中也是比较重要的一块,其定理本身比较简洁,也可以在高考中解决一类不等式问题,其解法比较快捷,我们来认识一下这个定理吧! 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理: 若函数满足如下条件: (1)在闭区间上连续.(2)在开区间内可导. 则在内至少存在一点,使得. 几何意义: 在以为端点的曲线上至少存在一点,该曲 线在该点处的切线平行于曲线两端的连线. 【例】已知函数,问是否存在实数,使得函数上任意不同两点连线的斜率都不小于?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由. 假设存在实数,使得的图像上任意不同两点连线的斜率都不小于, 即对任意,都有. 即求任意两点割线斜率的大小,由中值定理知存在,有,转为求切线斜率的大小.即在上恒成立的问题. 拉格朗日证明无参不等式 用拉格朗日中值定理证明不等式的一般步骤: 第一步:在不等式中找合适的函数.第二步:利用拉格朗日中值定理转换,即.（或）,并确定的范围. 第三步:利用的范围对不等式放缩,从而证明不等式. 【例1】设,证明:. 【例2】当时,证明:. 【例3】当时,证明:. 【例4】当时,证明:. 拉格朗日证明一元含参不等式 利用拉格朗日中值定理证明一元含参不等式问题的一般步骤: 第一步:参变分离为:或成立.[其中,只有这种 结构才可以使用] 第二步:拉格朗日中值定理简化为或.[其中第三步:转化为求最值问题. 【例1】设函数,若对所有,都有,求的取值范围. 【例2】设函数,证明:若对所有,都有,则的范围是. 【例3】设函数,如果对任何,都有,求的取值范围. 拉格朗日证明双变量含参不等式 由拉格朗日中值定理解决具有特点的证明或求参数的范围问题的一般步骤: 第一步：把问题转化为证明或(其中结构的问题. 第二步:利用拉格朗日中值定理简化.即证明或 .第三步:问题转化为证与的大小关系. 【例1】设函数,.若对任意, 恒成立,求的取值范围. 【例2】设函数,若对任意恒成立,求的取值范围。 【例3】已知函数. (1)讨论的单调性. (2)设为曲线上的任意两点,并且,若恒成立,证明:. 【例4】已知. (1)讨论的单调性. (2)设,求证:, . 【例5】已知函数，的导函数是,对任意两个不相等的正数,证明: (1)当时,. (2)当时,. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第48讲 导数中的端点效应法 本节主要讲解高考题的解题技巧:端点效应.“端点效应”,是指在处理“定区间上函数不等式恒