第49讲 柯西中值定理在高中数学的应用 第50讲 泰勒展开解密放缩法和高考命题方法 讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第50讲 柯西中值定理在高中数学的应用 微分中值定理是微分学中的一个重要内容，它主要包括罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Larange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理. 本节内容所要讲解的柯西中值定理比拉格朗日中值定理更具有一般性,我将讲解其一般证明方法,如果大家在考试时使用了,则需要先给出证明. 柯西中值定理及其证明柯西中值定理: 若与在上可导,且,则在内至少存在一点,使. 大家不难发现，拉格朗日中值定理只是柯西中值定理的一个特例:当的时候,即为拉格朗日中值定理.其证明方法的探讨与研究是一个引人注目的问题,这里会顺便引人罗尔定理及其证明,并利用罗尔定理来证明柯西中值定理. 罗尔定理:设函数在闭区间上连续,在开区间上可导,而且在两端点处函数的值相等,那么在开区间上至少有一点,使得在这点的导数等于零. 证明:设和分别是在区间,上的最大值和最小值.由于在上是连续的,∴的最大值和最小值是存在的.如果等式成立,那么对于一切都有.如果和不能同时成立,那么和这两个数中间至少有一个不等于数.为了确切起见,设是这样的数.于是,在开区间的某点,函数达到闭区间上的最大值,因而在这个点同时有局部极大值.因为在点处的导数存在且等于零.的情况可以进行类似的讨论. 下面证明柯西中值定理. 证明:引人函数•. 这个函数在上显然是连续的,而且在开区间上有导数.此外,.因此根据罗尔定理可以找到这样的点,使得,,即 . (1)显然,否则的话,由于,就应该有,但是根据已知条件和不同时等于零,因此,,用它除等式(1)的右边,即得所证. 柯西中值定理证明无参不等式 【例1】若,求证: 柯西中值定理求解一元参数范围 柯西中值定理可以解决:已知在上,不等式恒成立,求参数的取值范围问题(其中,其一般步骤如下: 第一步:参变分离.(暂定,具体要讨论). 第二步:柯西中值定理转换.,其中. 第三步:构造函数求解.令,问题转化为在恒成立问题,按一元函数求解. 【例1】已知函数,若在上恒成立,求的取值范围。 法二:柯西中值定理法 第一步:分类讨论,并参变分离. 当时不等式成立,当时,可参变分离, 即. 第二步:分子和分母分别构造函数. .又,得. 第三步:利用柯西中值定理简化函数.其中. 第四步:利用极限可得函数确界.由,可得. 【例2】已知函数1),,若当时,恒成立,求的取 值范围. 法二:柯西中值定理法 第一步:分类讨论,并参变分离.当时不等式成立,当时,可参变分离, 即. 第二步:分子和分母分别构造函数. ,又,得. 第三步:利用柯西中值定理简化函数. 第四步:利用极限可得函数确界.由,可得. 【例3】已知函数,当时,,求实数的取值范围. 第51讲 泰勒展开解密放缩法和高考命题方法 为何高考中总是考和这些超越函数呢?因为高考命题专家很多是大学老师,他们俯视高中数学,一览无遗.超越函数本质上就是高等数学中的泰勒公式,即从某个点处,我们可以构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值.如果这个点是0,就是形式比较简单的麦克劳林公式.简而言之,它的功能就是把超越式近似表示为幂函数.这也是放缩法的理论依据,也是出题老师的出题角度,后面将在泰勒展开中专门讲解如何命题,大家可先理解放缩法. 泰勒展开公式及其应用 一、泰勒展开公式 设函数在点处的某邻域内具有阶导数,则对该邻域内异于的任意点,在与之间至少存在一点,使得 余项,上式称为阶泰勒公式. 若,则泰勒公式称为麦克劳林公式,其中为阶无穷小,相当于余项 , 即. 二、常用的初等函数的麦克劳林公式 (1) (2) (3) (4) (5) 【例1】按的三展开多项式. 【例2】求函数的带有皮亚诺型余项的阶麦克劳林展开式. 【例3】求函数按的幂展开的带有皮亚诺型余项的阶泰勒公式. 利用泰勒公式证明无参不等式 泰勒展开证明无参不等式的一般步㝡骤:第一步:构造函数,并按泰勒公式展开函数,即如果函数在定义域上有定义,且有阶导数存在,,则 , 其中介于和间 第二步:判定余项的正负号,并去掉余项,得不等式.在上述泰勒公式中,若余项,则去掉余项可得 若,则去掉余项可得 【例1】当时,. 【例2】设,证明:. 【例3】证明: 【例4】证明不等式:. 泰勒探究放缩法本质 经过对泰勒证明不等式的学习,应该体会到了泰勒公式的强大.我们在放缩法那一节的所有不等式都是在泰勒展开的基础上变形而来的,所以泰勒公式才是放缩法的核心， 为什么这么说呢? 泰勒展开式的本质上是将一个复杂的函数近似表示为一个多项式函数,是一种函数逼近的思想,也就是我们所说的放缩,下面我将用一个例子来探讨这一近似逼近的思想,以及相关不等式的变形. 【例1】比较和的大小. 利用泰勒放缩证明含参不等式 在不等式恒成立中,我们通过泰勒展开放缩来大大简化计算,但前面也说过,泰勒展开放缩是一种