7.2.3同角三角函数的基本关系式-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第三册）

7.2.3同角三角函数的基本关系式 题型1 已知某个三角函数值求其余的三角函数值 2 ◆类型1sinα，cosα，tanα的知一求二 2 ◆类型2由条件等式求三角函数值 3 题型2 三角函数式的化简 5 题型3 关于tanα的齐次式问题 6 题型4 关于、、的相互转化 7 题型5 与参数有关的三角函数问题 9 题型6 利用同角关系证明三角恒等式 10 知识点一.同角三角函数的基本关系 1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1. 2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即＝tan α其中α≠kπ＋(k∈Z)． 注意：（1）这里“同角”有两层含义， ①“角相同”， ②对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下）关系式都成立，即与角的表达形式无关，如 sin²3α＋cos23α=1成立，但是sin²α＋cos²β=1就不一定成立. （2）sin²α是（sinα）²的简写； （3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取。 知识点二.同角三角函数基本关系式的变形 1．平方关系式的变形： sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α， 2．商数关系式的变形 sinα=cosαtan α,cosα=. 题型1 已知某个三角函数值求其余的三角函数值 【方法总结】三角函数求值问题处理方法 1、同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是"知一求二"，即在sinα，cosα，tanα三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负. 2、已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及（sin αcosα）2=1±2sin αcos α的等价转化，分析解决问题的突破口· ◆类型1sinα，cosα，tanα的知一求二 【例题1-1】（2022秋·浙江杭州·高一统考期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】1．（2022秋·广东广州·高一校考期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】2.已知α∈，tan α＝2，则cos α＝ . 【变式1-1】3.(多选)（2023秋·湖北武汉·高一武汉市新洲区第一中学校考期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D．为第三象限角 【变式1-1】4．(多选)（2022春·广西桂林·高一校考期中）下列结论中不可能成立的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．是第二象限角时， 【变式1-1】5．（2023秋·上海徐汇·高一南洋中学校考期末）已知角的终边与单位圆的交点的横坐标为，则____________． ◆类型2由条件等式求三角函数值 【例题1-2】已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值． 【变式1-2】1．（2023秋·广东广州·高二铁一中学校考期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】2.（2022·江西南昌·统考三模）若角的终边不在坐标轴上，且，则(    ) A． B． C． D． 【变式1-2】3.（2022春·贵州·高二贵州师大附中校考开学考试）已知，则cos θ的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】4．（2023·广东东莞·校考模拟预测）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例题1-3】（2023秋·山东淄博·高一山东省淄博第六中学校考期末）已知为第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】1．已知cos α＝－，且tan α>0，则＝ . 【变式1-3】2．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是(　　) A．tan α＝－ B．cos α＝－ C．sin α＝－ D．tan α＝ 【变式1-3】3.（2022秋·安徽安庆·高一安徽省桐城中学校考期末）已知集合，且A=B，则（     ） A．－1 B．0 C．1 D．±1 【变式1-3】4.（2022春·浙江·校联考阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】5．（2023秋·四川成都·高一成都实外校考期末）在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴的非负半轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆相交于两点，已知的横坐标分别为，． (1)，的值； (2)求的值． 【变式1-3】6．（2022秋·江苏无锡·高一校考阶段练习）如图，在平面坐标系xOy中，第二象限角的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为. (1)求的值； (2)求的值. 题型2 三角函数式的化简 【方法总结