解密07 任意角的三角函数、诱导公式及恒等式（讲义）-【高频考点解密】2023年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

解密07讲：任意角的三角函数、诱导公式与恒等式 【考点解密】 1．角的概念 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)分类 (3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α. (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝αr 扇形面积公式 S＝lr＝αr2 3.任意角的三角函数 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． 三个三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sin α R ＋ ＋ － － cos α R ＋ － － ＋ tan α {α|α≠kπ＋，k∈Z} ＋ － ＋ － 4．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α . 5．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 6．常见特殊角的三角函数值 n 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0 2π sin 0 1 0 -1 0 cos 1 0 - - - -1 0 1 0 1 - -1 - 0 0 7．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1) sin(αβ)＝sin αcos βcos αsin β； (2) cos(αβ)＝cos αcos βsin αsin β； (3) tan(αβ)＝． 8．二倍角公式 (1)基本公式： ①sin 2α＝2sin αcos α； ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； ③tan 2α＝. (2)公式变形： 由cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得 降幂公式：cos2α＝；sin2α＝； 升幂公式：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. 9．辅助角公式 asin x＋bcos x＝sin(x＋θ). （其中） ＝cos(x—φ). （其中） 【方法技巧】 1．求三角函数值 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置． (2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况． 2．同角三角函数基本关系式的应用 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化． (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． (3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 3．诱导公式 (1)诱导公式的两个应用 ①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算． 如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. 4．三角函数式化简的常用方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数． (2)切化弦：一般