第六章 平面向量及其应用 章末整合提升6（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】人教A版

一、平面向量的线性运算 1．向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相连”，即＋＝. 向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点，分别为邻边作平行四边形，则同起点对角线的向量即为向量的和．加法满足交换律、结合律． 2．向量减法实质是向量加法的逆运算，是相反向量的作用． 几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量．注意两向量要移至共起点． 3．数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换． [典题1]　(1)在平行四边形ABCD中，M为AB上任一点，则－＋＝(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． (2)已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋2＋3＝2，下列结论正确的是(　　) A．P在△ABC的内部 B．P在△ABC的边AB上 C．P在△ABC的边AC上 D．P在△ABC的外部 (3)如图，在△ABD中，已知＝2，则＝(　　) A．＝＋ B.＝＋ C．＝－＋ D.＝＋ [解析]　(1)－＋＝＋＋＝＋＝， 在平行四边形ABCD中，＝， 所以－＋＝， 故选B. (2)因为＋2＋3＝2， 所以3＝＋2(－)＝＋2＝3， 即＝， 所以点P为AC中点． 故选C． (3)因为＝2， 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋， 故选C． [答案]　(1)B　(2)C　(3)C 二、平面向量的数量积运算 1．利用数量积的定义、运算律求解 在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上述两公式以及(a＋b)·(a－b)＝a2－b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用． 2．借助零向量 即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积． 3．借助平行向量与垂直向量 即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助a⊥b，则a·b＝0等解决问题． 4．建立坐标系，利用坐标运算求解数量积． 5．设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，两向量夹角θ(0≤θ≤π)的余弦cos θ＝＝ . 角度1　平面向量的数量积 [典题2]　(1)在直角三角形ABC中，A＝90°，B＝60°，AB＝2，则·＝(　　) A．－4 B．4 C．－8 D．8 (2)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝2，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于(　　) A．－ B．－ C．－ D． (3)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，B＝60°，P为边AC上的动点，则·的取值范围是(　　) A．[0,3] B．[1,3] C．[6,9] D．[3,9] [解析]　(1)因为△ABC为直角三角形，且B＝60°，AB＝2，所以BC＝4， 且〈，〉＝120°， 所以·＝||·||×cos 120°＝2×4×＝－4. 故选A． (2)因为M是BC的中点， 所以＋＝2＝. 又因为AM＝2，＝2， 所以||＝||＝， 所以·(＋)＝·＝－||2＝－.故选C． (3)依题意||＝3，||＝2， ||·cos B＝1， 由于P是边AC上的动点，所以0°≤∠PBC≤60°，≤cos∠PBC≤1， 所以||×≤||·cos∠PBC≤||×1，即1≤||·cos∠PBC≤3， 所以·＝||·||·cos∠PBC∈[3,9]． [答案]　(1)A　(2)C　(3)D 角度2　向量的模与夹角 [典题3]　(1)已知a，b为单位向量，且(2a－b)⊥b，则|a＋b|＝(　　) A．1 B． C．2 D． (2)已知a＝(λ，2)，b＝(3，－5)，且a与b的夹角θ是钝角，则λ的取值范围是(　　) A． B. C．∪ D.∪ [解析]　(1)a，b为单位向量，且(2a－b)⊥b， 可得(2a－b)·b＝2a·b－b2＝0， 所以2a·b＝b2＝|b|2＝1，则|a＋b|＝＝. 故选B. (2)因为a与b的夹角θ是钝角，所以 cos θ＝＝<0，且≠－1， 解得λ<且λ≠－. [答案]　(1)B　(2)D 三、解三角形 　在三角形的六个元素中，已知三个(除三个角外)元素能求解其他三个元素，常见类型及其解法如下表： 已知条件 应用定理 一般解法 一边和两角(如a，B，C) 正弦定理 由A＋B＋C＝180°，求A；由正弦定理求出b与c；有解时只有一解 两边和夹角(如a，b，C) 余弦定理 正弦定理 由余弦定理求出第三边c；由正弦定理求出较小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角；有解时只有一解 三边(如a，b，c) 余弦定理 由余弦定理求出A，B；再利用