微专题14 导数解答题之函数型数列不等式问题-2023年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

微专题14 导数解答题之函数型数列不等式问题 【秒杀总结】 1、分析通项法：由于左边是一个求和(积)形式的表达式，右边是一个简单的式子，为了使得两者能够明显地显现出大小特征，有必要将两者统一成同一种形式，此处有两条路可走，一种是将左边的和式收拢，一种是将右边的式子分解.很明显，左边是无法收找的，因此需要将右边进行拆分，而拆分的原则就是和左边配对.假设右边，这样一来，相当于已知一个数列的前项之和，求，利用数列的知识可知.所以，接下来只需要证明即可. 2、几种常见的数列放缩方法： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9） ； （10） ； （11） ； （12）； （13）. 3、根据不等式的信息，利用题目的结论，得出不等式，然后对变量取合适的数据，再用数列求和法而得解. 【典型例题】 例1．（2023·山东济南·高三统考期中）已知函数. (1)若恒成立，求的取值范围； (2)证明：对任意； (3)讨论函数零点的个数. 【解析】（1）求导可得：， 若，对任意的，，为减函数， 所以， 若，考查函数， 当，即时，， 此时在上为减函数， 有， 当，即时，令可得： ，， 所以当时，，为增函数， 所以，不符题意， 综上可得：的取值范围为； （2）由（1）知当时，成立， 即时，恒有， 即当时成立， 取（）， 有， 即，， 将上述几个不等式相加可得： ， 整理可得， 即成立； （3）由（）， 当时，，为减函数， 又， ， 此时在上有一个零点， 当时，令，可得或（舍）， 此时有一个零点， 当时，考查函数， 若，即时，， 所以为减函数，由， ， 此时有一个零点， 若，时，有两解， ，， 此时在上为减函数，在上为增函数， 由， 令， ， 所以在上为增函数，又， 所以， 所以极小值 极大值， 由 取，， 令， ，令，则， 由所以，所以为减函数， 所以，所以为减函数， 所以， 所以， 可得， 此时有三个零点， 综上可得：时有一个零点，时有三个零点. 例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数． (1)证明：对恒成立； (2)是否存在，使得成立？请说明理由． 【解析】（1）证明：由，得， 令，得， 令，得， ，且当且仅当， 所以在上单调递增，故，且当且仅当， 所以在上也单调递增，故，且当且仅当， 所以在上仍单调递增，故； （2）对于右侧：由（1）可知，当时，，即， 故， 所以 ， 所以该侧不等号始终成立； 对于左侧：由（1）可知当时，． 设，，则． 在上有，所以在上单调递增，故当时，． 此时， 令， 可知， 所以当时， ， 令，注意到，所以可得到一个充分条件， 即， 所以任取，则该侧不等式成立，（表示整数部分）， 因此，对于任意，原不等式都成立．即所求的n是存在的． 例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数． (1)当时，求证：； (2)求证：． 【解析】（1）证明：要证， 即证， 即证，令，即证， 令， 当时，即时， 由，可得，因为，， 在上恒成立， 所以在上单调递减，则当时，， 所以； （2）证明：由（1）知，当时，，令， 则， 即， 所以， ……． ， 以上各式相加，得， 则，而， 即. 例4．（2023·广东广州·高三广州市第七中学校考阶段练习）已知函数． (1)当时，，求的取值范围； (2)是否存在，使得？说明理由． 【解析】（1）由，得． 令，得． 令，得． （ⅰ）当时，，且当且仅当， 所以在单调递增，故，且当且仅当． 所以在也单调递增，故，且当且仅当． 所以在仍单调递增，故； （ⅱ）当时，注意到在单调递增，且，， 所以存在唯一，使得，且在有． 所以在单调递减，故在有． 所以在也单调递减，故在有 所以在仍单调递减，故，不恒成立； （ⅲ）当时，由（ⅰ）可知当就有，不恒成立； （ⅳ）当时，由（ⅰ）可知． 综合上述讨论，的取值范围为； （2）对于右侧：由（1）可知 ，由 所以右侧不等号始终成立； 对于左侧：由（1）可知当时，． 设，则． 在有，所以在单调递增，故当时，．此时 ． 令，可知 ． 所以当，时， 令，注意到，所以可得到一个充分条件 ． 所以任取，，则该侧不等式成立． 因此，对于任意，，原不等式都成立．即所求的是存在的. 例5．（2023·上海·高三专题练习）已知函数. (1)当时，，求的最大值； (2)设，证明：. 【解析】（1）的定义域为，， 因为在上单调递增，， ①当时，对于任意的，有，所以在上单调递增， 则对于任意的，，所以符合题意； ②当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，这与当时，矛盾，所以舍去； 综上，，所以的最大值为1. （2）由（1）可知，当时，有，即， 令，，则， 所以，，…，， 将以上不等式左右两边分别相加，得， 所以 . 例6．用导