微专题13 导数解答题之双变量问题-2023年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

微专题13 导数解答题之双变量问题 【秒杀总结】 1、破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果； 四是主元法. 【典型例题】 例1．（2023·上海·高三专题练习）已知函数，其中为自然对数的底数，约为. (1)求函数的极小值； (2)若实数满足且，证明：. 【解析】（1）由题意可知，. 令，则，解得， 当时，， 当时，， 所以在上递减，在上递增. 所以当时，函数取得极小值为. （2）若，则显然成立； 若，令，因为. 当时，单调递增；当时，单调递减； ， 令， 则 . 令， 则. 令，则， 所以，即， 所以在时递增，从而，即， 所以在时递减，所以， 从而， 所以， 所以，即. 例2．（2023·上海·高三专题练习）已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当，求函数的最大值； (3)若函数在定义域内有两个不相等的零点，证明：. 【解析】（1）当时，， ，，切线方程为：. （2）， ①当时，，在[1，2]单调递减， ②当时， 在单调递增， ③当时，， （i）当即时， 在单调递减，上递增 （ii）当即时， 在单调递减，， 综上：. （3）证明：要证， 只需证， 只需证， 因为，， 两式相减得：. 整理得. 所以只需证， 即证， 即，不妨设，令， 只需证， 只需证， 设， 只需证当时，即可. ， 在单调递减， 当时，， 在单调递增，当时， 原不等式得证. 例3．（2023·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)证明：当时，． 【解析】（1）当时, , ,故， 所以在处的切线方程为，即. （2）由题意得， 由当时，恒成立，而，即时函数取得最小值， 由于 ，， 故， 当时，，等号仅会在时取得，则， 此时当时，递增，且； 下面证明只有时，当时，恒成立. 因为，所以， 只需证明恒成立； 设， 令，仅在时取得等号， 故单调递增，则， 故单调递增， 所以，即此时当时，恒成立. 当时，， 则，令， 则，在上为增函数， 且，， 故存在使得， 则时，，则递减， 且， 即在上递减， 而，则当时，，与题设矛盾， 故当时，不合题意， 综合上述可知：. （3）当时，令 ，则，即 ， 故要证明当时，， 只需证明：， 令 ，则， 故需证明：， 令 ，则需证：恒成立， 由（2）知恒成立，即恒成立， 故当时，. 例4．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知，记的导函数为． (1)讨论的单调性； (2)若有三个零点，且，证明：． 【解析】（1）由题意知：定义域为，， 即，； 令，则； ①当，即时，恒成立，即恒成立， 在上单调递增； ②当，即或时，令，解得：； 当时，，在上恒成立，即恒成立， 在上单调递增； 当时，， 当时，，即；当时，，即； 在上单调递增，，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，，在上单调递减. （2）若有三个零点，则由（1）知：， 又，， ，，； ，， 又，； 要证，只需证，即证； 由得：，即， 即证，又，只需证； 令，则， 在上单调递增，， 即当时，恒成立， ，，则原不等式得证. 例5．（2023·浙江·高三校联考期末）已知函数． (1)若，求的值； (2)证明：． 【解析】（1）设，则， ，令，可得， 令，其中，则， 令，其中，则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，. ①当时，，则且不恒为零， 所以，函数在上单调递减， 所以，当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以，，即； ②当时，，则， 所以，函数在上单调递减， 因为，， 此时，存在，使得，且当，，单调递减， 所以，，不合乎题意； ③当时，， 因为，， 由于函数在上单调递减，故存在，使得当时，， 此时，，则函数在上单调递增， 故当时，，单调递增， 所以，，不合乎题意. 综上所述，若，. （2）证明：设，则， ，令，可得. 当时，设， 则， 设，则， 当时，，此时函数单调递增； 当时，，此时函数单调递减. 所以，当时，， 因为当时，且，此时， 当时，，此时也有， 所以，当时，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，当时，，所以，， 所以，，故原不等式得证. 例6．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）已知直线l与曲线相切于点．证明： (1)l与曲线恰存在两个公共点 ； (2) ． 【解析】（1） ，所以在 处的切线方程为 ， 令，则原问题转化为 存在2个零点： ，并且 ， 令，则 ， 显然