微专题12 导数解答题之证明不等式问题-2023年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

微专题12 导数解答题之证明不等式问题 【秒杀总结】 利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. （4）对数单身狗，指数找基友 （5）凹凸反转，转化为最值问题 （6）同构变形 【典型例题】 例1．（河南省南阳市2022-2023学年高三上学期期中质量评估理科数学试题）已知函数，. (1)若恒成立，求实数m的取值范围； (2)求证：当时，. 【解析】 (1)令， 则 所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得最大值， 若恒成立，则，即. (2)证明：由（1）可知恒成立，即， 要证，只需证明成立即可. 设，则， 设， 则，易得在上单调递减，在上单调递增， 又，，因为，所以，所以存在，使得， 所以当时，；当时，. 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以， 因此，当时，， 故当时，. 例2．（2023届高三数学一轮复习）已知函数，且函数与有相同的极值点. （1）求实数的值； （2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：. 【解析】（1）的定义域为，，由得， 易知函数在单调递增，在单调递减，故函数的极大值点为， ，依题意有，解得，经验证符合题意，故. （2）由（1）知，函数在单调递增，在单调递减， 又，且， 当时，，. ① 当，即时，对，不等式恒成立，即为恒成立， 则， ，又， 此时的取值范围为； ② 当，即时，对，不等式恒成立，即为恒成立， 则， 所以，又， 此时的取值范围为. 综上，实数的取值范围为. （3）证明：所证不等式即为， 下证：，即证， 设，则， 令，则， 易知函数在上单调递减，且， 故存在唯一的，使得，即，， 且当时，，即单调递增； 当时，，即单调递减， ， 在单调递减， 又时，，故，即； 再证：，即证在上恒成立， 设，， 在单调递增，则，即， 故， 综上，. 例3．（云南省昆明市2023届高三摸底考试数学试题）已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：． 【解析】(1)，，， 故曲线在点处的切线方程为. 即． (2)设， 则 ． 由（1）知，又， 所以，所以在上单调递增，故， 所以，，． 例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数. (1)若，判断函数的单调性； (2)证明：. 【解析】（1）因为， 所以, 因为，所以在上， 由，解得. 当时，，故在上为增函数； 当时，，在上为减函数. （2）证明：由（1）知，当时， 在上为增函数，在上为减函数. 因为， 所以， 故， 所以， 所以. 设， 所以在上为减函数. 又，则，所以， 所以. 例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数． (1)若是的极值点，求a； (2)当时，证明：． 【解析】（1）依题意，的定义域为， 由，得， 因为是的极值点，所以，即，即 当1时，， 当时，，所以在单调递增； 当时，，所以在单调递减； 所以f（x）在处取得极大值，符合题意 因此 （2）当时，要证，只需证， 即证，等价于证明 令，则 令，则，所以对恒成立， 故 在 单调递减， 又，所以， 所以在上恰有一个零点，且． 当时，，即，所以在单调递增； 当时，，即，所以在单调递减， 所以． 又因为，即，即，即，即， 所以 所以， 又因为，所以，即， 因此，即，圆 例6．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）设，，． (1)求的单调区间； (2)证明：当时，． 【解析】（1）， ∵， 令，得；令，得； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）设， 若证成立，即证． ， ， 当时，，所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以恒成立． 当时，，令， 则对称轴为直线， 所以当时，函数单调递增， 当时，取最小值， 所以，所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以恒成立， 综上：当时，恒成立． 即． 例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若，证明：． 【解析】(1)由题可知，，． 若，，所以在上单调递增，在上单调递减； 若，令，解得或（舍）， 所以在上单调递增，在上单调递减； 若，当，即时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； (2)证明：若，要证，即证，即证． 令函数，则． 令，得；令，得． 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 令函数，则． 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增，所以． 因为，所以， 即，从而得证． 例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数. (1)求的最小值