微专题11 导数解答题之极最值问题-2023年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

微专题11 导数解答题之极最值问题 【秒杀总结】 1、利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极最值．只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作． 【典型例题】 例1．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）已知函数（为非零常数），记，. (1)当时，恒成立，求实数的最大值； (2)当时，设，对任意的，当时，取得最小值，证明：且所有点在一条定直线上； (3)若函数，，都存在极小值，求实数的取值范围. 【解析】（1）由，， 令，， 时，，时， ∴在上单调递减，上单调递增， ∴， ∴， 即的最大值为； （2），∴，， ，， 时，， 当时，， ，令， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ∴时，取得最小值， 且， ∴为在定直线上运动； （3），，均存在极小值， ，当时，，单调递增，不存在极小值，舍去， 当时，令，且在上单调递减；上单调递增， ∴在处取得极小值， ，，， 要使存在极小值，则， 此时，∴在上有唯一的零点， 且当时，，单调递减； 当时，，单调递增， ∴存在极小值， 当时，考察极值情形， ， 令，则， 当或时，；当时，， ∴在上单调递增；上单调递减；上单调递增， 因为，所以，，， ∴在上有唯一的零点， 且当时，，，单调递减； 当时，单调递增， ∴在处取得极小值，符合条件， 综上：实数的取值范围为. 例2．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）已知函数 (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调区间； (3)设，若函数在区间上存在极值点，求的取值范围. 【解析】（1）若,函数的定义域为, 则曲线在点处切线的斜率为， 而,则曲线在点处切线的方程为. （2）函数的定义域为，， ①当时,由,且此时, 可得， 令,解得或,函数为减函数， 令,解得，且, 所以当时，函数为增函数， 所以函数的单调减区间为， 单调增区间为 ②当时,函数的单调减区间为，无单调增区间， 当时,函数的单调减区间为,，无单调增区间， 当时,由,所以函数的单调减区间为. 即当时，函数的单调减区间为，无单调增各区间， ③当时,此时.令, 解得或,但, 所以当,时,函数为减函数; 令,解得,函数为增函数. 所以函数的单调减区间为， 函数的单调增区间为， 综上所述，时，单调减区间为， 单调增区间为 时，单调减区间为，无单调增各区间， 时，单调减区间为， 单调增区间为. （3）①当时,由（2）问可知,函数在上为减函数, 所以不存在极值点; ②当时,由（2）可知,在上为增函数, 在上为减函数. 若函数在区间上存在极值点,则, 解得或, 所以. 综上所述,当时,函数在区间上存在极值点. 例3．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）已知函数. (1)若，求证；函数的图象与轴相切于原点； (2)若函数在区间，各恰有一个极值点，求实数的取值范围. 【解析】（1）证明：因为，，； 又， 所以，所以在点处的切线方程为， 所以函数的图象与轴相切于坐标原点. （2）先证明不等式恒成立， 令，则，当时，，当时，， 故在处取得极小值，也是最小值， 故，所以，当且仅当时，等号成立， ，令， ，令，， 当时，， 故在上为减函数，因为，所以当， 即时，， 所以为增函数，故， 所以为减函数，故函数在无极值点； 当时，当，因为为减函数，， ， 故必存在，使得，当时，，为增函数， 当时，，为减函数，而，故， 又因为 所以必存在，，且当，，为减函数， 当，，为增函数，故在区间上有一个极小值点， 令， 因为，所以在上单调递增， 又因为，，所以总存在使， 且当时，，单调递减，时，，单调递增， 当，，且， 故必存在，使得， ，，为减函数，，，为增函数， 因为，所以当，，即， 又因为 ， 故存在，使得， 且当，，为减函数， 当，，为增函数， 故在区间有一个极小值点， 所以若函数在区间，各恰有一个极值点， 综上：实数的取值范围是. 例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.若函数有两个极值点，且不等式恒成立，试求实数的取值范围. 【解析】的定义域为， 令， 又因为函数有两个极值点， 有两个不等正实数根， 由于，二次函数图象对称轴为， ，且， 从而， 由不等式恒成立,可得恒成立， ， 令，， 当时，，故恒成立， 所以函数在上单调递减，， 故， 故实数的取值范围是， 例5．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）已知函数f（x）＝ae﹣x+lnx﹣1（a∈R）． (1)当a≤e时，讨论函数f（x）的单调性： (2)若函数f（x）恰有两个极值