微专题10 导数解答题之零点问题-2023年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

微专题10导数解答题之零点问题 【秒杀总结】 1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围． 求解步骤： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数． 【典型例题】 例1．（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）已知函数. (1)若存在极值，求的取值范围； (2)当时，讨论函数的零点情况. 【解析】（1）因为，所以， 当，即时，，则为单调递增函数，不可能有极值，舍去； 当，即时，令，解得， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在取得极大值，符合题意； 综上：，故实数的取值范围为. （2）当时，，则， 令，则， （i）当时，，则单调递减，即单调递减， 注意到，， 所以存在唯一的使， 且当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 注意到，，，则， 所以在和上各有一个零点； （ii）当时，，故， 令，则， 所以在上单调递减，故， 所以，故在上无零点； （iii）当时，，则， 令，则，所以在上单调递减， 又，故， 所以，故在上无零点； 综上：在和上各有一个零点，共有两个零点. 例2．（2023春·全国·高三竞赛）已知函数．设为的导函数． (1)证明：有且仅有一个极值点； (2)判断的所有零点之和与的大小关系，并说明理由． 【解析】（1）证明：因为，所以 设，， 所以，其中恒成立， 令，， 则， 因为，所以， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递增； 又，，， 所以，使得 ，即， 故对于有，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 所以是函数的极大值点，无极小值点，故有且仅有一个极值点. （2）的所有零点之和大于，理由如下： 函数，其导函数，，使得当时，单调递增，当时，函数单调递减， 又， 所以， 因为，所以，所以， 又， 故，使得，，使得，于是可得： 当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又，故， 则，所以存在使得， 所以，又，所以，则存在使得， 又，所以函数在区间上无零点； 故函数在上有两个零点，且， 由可得： ，所以， 又， 所以， 根据，可得：，， 并且函数在上单调递减，所以，即， 故的两个零点之和大于. 例3．（2023秋·重庆·高三统考学业考试）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的零点个数. 【解析】（1）因为，所以， 令，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即恒成立， 所以，则， 所以切线的斜率为， 又切点为，所以切线方程为，即. （2）令，则，该式等价于或， 当时，有， 令，，则的解的个数即为与的交点个数， 易知开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 而在上单调递增，，所以在上单调递减，且， 作出与的图像，如图， 所以与的交点只有一个，且为，故只有一个解； 当时，因为当时，该式不成立，所以， 令，则， 令，则， 令，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，故， 所以在上单调递增， 因为， 所以存在，使得，则在上，在上， 所以在上，在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递减，在上调递增， 因为，所以，即， 所以， 因为在上单调递增，， 所以，故， 又因为，所以方程无解，即方程无解，故无解； 综上：当时，与只有一个解，即只有一个零点. 例4．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）已知函数是的导函数． (1)若在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若，判断关于的方程在内实数解的个数，并说明理由． 【解析】（1）由题意在上恒成立，得 ， 即恒成立，令，则 ， 当时，， 令，即，则， 得， 令，即， 或得 或， 所以在和为减函数，在上为增函数， ，，故， 故，即， 综上 ，实数的取值范围 . （2）由题意， , 由，得 ， 令 ， 令， ,令 在上单调递减, 注意到, ∴存在,使， 且当时， ， 单调递增, 当时，，单调递减, 且 , , 所以在和上各有一个零点， 设为，且当时，单调递减；时，单调递增， 当时，单调递减 且 ， ∴当时， ， 当 时，， 故在上有唯一的零点，设为， 且当 ，时， ，在上单调递减； 当 时，，在上单调递增． 注意到 ， ， 所以：在和上各有一个零点，设为， 所以共两个零点， 故方程在内实数解的个数为2. 例5．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数的图象与函数的图象仅有一个交点M，求证：曲线与在点M处有相同的