微专题09 导数解答题之恒成立与能成立问题-2023年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

微专题09 导数解答题之恒成立与能成立问题 【秒杀总结】 1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 【典型例题】 例1．（2023春·浙江·高三开学考试）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，, 所以. 所以,， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由题易得，由，得: ， 令， 则，所以在上单调递增， 式等价于，即． 所以，， 令，则有， 令，即，解得， 当时， ；当时， ； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以； 所以只需，即． 综上，实数m的取值范围是． 例2．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知函数 (1)若，求f(x)在（，0）上的极值； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围 【解析】（1）若x，则，令，， 则，令 则 , 所以在上恒成立，在上单调递增， 所以，所以在上恒成立，即g(x)在上单调递减，所以f'(x)在上单调递减， 又所以f(x)在（，）上单调递增，在（，0）上单调递减． 又，所以f(x)的极大值是 （2）由（1）可知函数，在上单调递减，即在上单调递减， 易知为偶函数． 所以f'(x)在上单调递增，又 当，即时，，所以f(x)在 上单调递增，所以，符合题意; 当，即时，，又， 存在，使得，所以存在，使得，所以f(x)在上单调递减， 在单调递增，故，不合题意． 综上，实数a的取值范围是． 例3．（2023春·河南·高三商丘市回民中学校联考开学考试）已知函数. (1)若的导函数为，讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为,，所以. 当时，，所以在上为减函数， 当时，， 所以在上为减函数，在上为增函数. （2）恒成立，即恒成立. 令，则. 当时，在上单调递增， 因为，所以不满足条件. 当时，恒成立，满足条件. 当时，令，存在，使得， 因为在上单调递增，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 解得. 综上，实数的取值范围为. 例4．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知为正整数，，. (1)求的最大值； (2)若恒成立，求正整数的取值的集合. （参考数据：） 【解析】（1） 令可得：；令可得：. 所以在上单调递增，在上单调递减. 故的最大值为. （2）因为恒成立，所以， 即恒成立，所以. ， 当或时，因为，所以，所以在上单调递增. 因为，此时满足， 故或满足条件. 当时，令可得；令时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以，所以，所以， 所以，令， 令， ，因为在上单调递增， ，， 所以在上存在唯一的零点. 令可得：；令可得：. 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为，所以， 所以， 又，， 所以，即. 因为，所以. 综上，正整数的取值的集合为 例5．（2023·全国·高三专题练习）设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，记，是否存在整数t，使得关于x的不等式有解?若存在，请求出t的最小值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题意得函数的定义域为，   ， ①当时，时，，在单调递增， 时，，在单调递减； ②当时，恒成立，在上单调递增； ③当时，时，，在单调递增， 时，，在单调递减； 综上，当时，在单调递增，在单调递减； 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减. （2）当时， ， ∴，∴单调递增， 又，， 所以存在唯一的，使得， 且当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 设，，则在上单调递减， 所以，即， 若关于x的不等式有解，则，又t为整数，所以， 所以存在整数t满足题意，且t的最小值为0. 例6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数设. (1)若在上单调递增,求实数的取值范围; (2)求证:;对,使得总成立. 【解析】（1）解:由题可知 因为在上单调递增, 所以在上恒成立, 因为