微专题15 立体几何中的截面、范围与最值、轨迹问题-2023年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

微专题15 立体几何中的截面、范围与最值、轨迹问题 【秒杀总结】 1、立体图形中的截面问题: (1)利用平面公理作出截面;(2)利用几何知识求面积或体积. 2、立体几何中距离之和的最值问题的求解,解题关键是能够求得关于平面的对称点,从而利用三角形两边之和大于第三边的特点确定当三点共线时取得最小值. 3、对于立体几何中的动点问题,常需动中觅静,这里的"静"是指问题中的不变量或者是不变关系,动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性."静"只是"动"的瞬间,是运动的一种特殊形式,然而抓住"静"的瞬间,使一般情形转化为特殊情形,问题便迎刃而解. 【典型例题】 例1.(2023秋·江西·高三校联考阶段练习)数学中有许多形状优美,寓意独特的几何体,图1所示的礼品包装盒就是其中之一.该礼品包装盒可以看成是一个十面体,其中上、下底面为全等的正方形,所有的侧面是全等的等腰三角形.将长方体的上底面绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体.已知,,,过直线作平面,则十面体外接球被平面所截的截面圆面积的最小值是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】依题意,四边形是正方形,令正方形与正方形中心分别为,连接, 因为正方形与正方形在同一平面内,且有相同中心,因此它们有相同的外接圆, 从而十面体与长方体的外接球相同,球心O是线段的中点,如图, 取中点M,连接,因为,则,显然, 又平面,则平面, 而平面,平面,即有, 平面,则平面,平面与平面有公共点, 显然平面与平面为同一平面,有,而,, 在直角梯形中,过作于I,, 球O的半径, 过D作平面,以点D为原点,射线分别为轴非负半轴,建立空间直角坐标系, 则,, 由已知得,即, ,,则点到直线的距离有:, 球O被过直线的平面所截的截面圆最小时,球心O到平面的距离最大,即为点到直线的距离, 截得的最小截面圆半径为,而,则 , 所以截得的截面圆面积的最小值是. 故选:C 例2.(2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考开学考试)已知为圆锥底面圆的直径(为顶点,为圆心),点为圆上异于的动点,,则下列结论正确的为( ) A.圆锥的侧面积为 B.的取值范围为 C.若为线段上的动点,则 D.过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为 【答案】AC 【解析】对选项A:母线长,侧面积为,正确; 对选项B:中,,,则当时, ,错误; 对选项C:为等腰直角三角形,,将放平得到,如图2所示,当三点共线时最小,为中点,连接,则,, ,正确; 对选项D:如图3,设截面为,为中点,连接,设,,则 ,当,即时等号成立,D错误. 故选:AC 例3.(2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测)正四棱台中,,侧棱与底面所成角为分别为,的中点,为线段上一动点(包括端点),则下列说法正确的是( ) A.该四棱台的体积为 B.三棱锥的体积为定值 C.平面截该棱台所得截面为六边形 D.异面直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】将正四棱台补形为正四棱锥, 由,可得为其中截面. 设分别为的中心, 底面,故为侧棱与底面所成角, 故,可得, 侧面为等腰梯形,高为,故, 对于,正确 对于B,连接,则,而, 所以,平面,平面,得平面, 由于为定值,M在上,故三棱锥的体积为定值 即三棱锥的体积为定值,B正确; 对于,取中点,连接并延长交于, 连接并延长交直线于, 则,则,而, 故,同理, 连接,则,即为的中位线,而为的中点, 故在上,即三点共线, 连接,则五边形为平面截正棱台所得的截面,C错误 对于,由题意知四边形为平行四边形, 故,可得为异面直线与所成角或补角, 在中,由余弦定理得, 由于异面直线与所成角范围为, 故异面直线与所成角的余弦值为,D正确, 故选: 例4.(2023秋·山东德州·高三统考期末)正方体的棱长是,、分别是、的中点,则下列结论正确的是( ) A. B.以为球心,为半径的球面与侧面的交线长是 C.平面截正方体所得的截面周长是 D.与平面所成的角的正切值是 【答案】AC 【解析】以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系, 对于A选项,、、、, ,,则,,A对; 对于B选项,因为平面, 所以,以为球心,为半径的球面与侧面的交线是以点为圆心,半径为的圆, 故交线长为,B错; 对于D选项,易知点、、、, 设平面的法向量为,,, 则,取,可得, ,, 设直线与平面所成角为,则, 所以,,故, 因此,与平面所成的角的正切值是,D错. 对于C选项,设平面交棱于点,其中,, 因为平面,所以,,解得,即点, 同理可知,平面交棱于点, 由空间中两点间的距离公式可得, 同理可得,, 因此, 平面截正方体所得的截面为五边形, 其周长是,C对. 故选:AC. 例5.(2023春·广东汕头·高三统考开学考试