精品解析：河北省石家庄市第二中学2023届高三下学期开学考试数学试题

2020级高三下学期开学考试数学试卷 （时间：120分钟，分值：150分） 一､单选题（共8题，每题5分，共40分.） 1. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2. 已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的局部图象如图所示，则的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正四面体的内切球的表面积为36，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体，则所得截面的面积为 A. 27 B. 27 C. 54 D. 54 6. 已知袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，现从中有放回地摸球8次（每次摸出一个球，放回后再进行下一次摸球），规定每次摸出红球计3分，摸出白球计0分，记随机变量表示摸球8次后的总分值，则（ ） A. 8 B. C. D. 16 7. 已知，，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆，，过点P的直线与椭圆交于A，B，过点Q的直线与椭圆交于C，D，且满足，设AB和CD的中点分别为M，N，若四边形PMQN为矩形，且面积为，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（共4题，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分，共20分.） 9. 投掷一枚质地均匀的股子，事件“朝上一面点数为奇数”，事件“朝上一面点数不超过”，则下列叙述正确的是（ ） A. 事件互斥 B. 事件相互独立 C. D. 10. 已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是（ ） A. 数列的最大项为 B. 数列的最小项为 C. 数列为递增数列 D. 数列为递增数列 11. 已知为圆锥底面圆直径（为顶点，为圆心），点为圆上异于的动点，，则下列结论正确的为（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 的取值范围为 C. 若为线段上的动点，则 D. 过该圆锥顶点平面截此圆锥所得截面面积的最大值为 12. 已知是的导函数，，则下列结论正确的为（ ） A. 与的图像关于直线对称 B. 与有相同的最大值 C. 将图像上所有的点向右平移个单位长度可得的图像 D. 当时，与都区间上单调递增 三、填空题（共4题，每题5分，共20分.） 13. 的展开式中，的系数为______. 14. 某省示范性高中安排名教师去三所乡村中学支教，每所中学至少去人，因工作需要，其中的教师甲不能去中学，则分配方案的种数为__________.（用数字作答） 15. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，离心率为，动点在双曲线的右支上且不与右顶点重合，若恒成立，则双曲线的渐近线方程为__________. 16. 已知，若过点的动直线与有三个不同交点，自左向右分别为，则线段的中点纵坐标的取值范围为__________. 四､解答题（共6题，17题10分，其余各题12分，共70分.） 17. 在中，a、b，c分别是角A、B、C的对边，且． （1）求角A的大小； （2）若是方程的一个根，求的值． 18. 某中药企业计划种植两种药材，通过大量考察研究得到如下统计数据.药材A的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表： 年份 2018 2019 2010 2021 2022 年份编号 1 2 3 4 5 单价（元/公斤） 18 20 23 25 29 药材的收购价格始终为20元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下： （1）若药材A的单价（单位：元/公斤）与年份编号间具有线性相关关系；请求出关于的回归直线方程，并估计2024年药材A的单价； （2）利用上述频率分布直方图估计药材B的平均亩产量（同一组数据用中点值为代表）； （3）若不考虑其他因素影响，为使收益最大，试判断2024年该药企应当种植药材A还是药材B？并说明理由. 参考公式：回归直线方程，其中. 19. 已知数列的前项和满足. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 20. 如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，是上点. （1）若平面，求的值； （2）若是的中点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 21. 设抛物线焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，点在第二象限，当在上时，与的横坐标和为． （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）过作斜率为的直线与轴交于点，与直线交于点（为坐标原点），求． 22. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围