专题10 相似综合篇-备战2023年中考数学必考考点总结+题型专训（全国通用）

专题10 相似综合 知识回顾 1. 比例的性质： ①基本性质：两内项之积等于量外项之积。即若，则。 ②合比性质：若，则。 ③分比性质：若，则。 ④合分比性质：若，则。 ⑤等比性质：若，则。 2. 平行线分线段成比例： 三条平行线被两条直线所截，所得的对应线段成比例。 即如图：有； ； 。 推论： ①平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 ②如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 ③平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 3. 相似三角形的性质： ①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。对应边的比叫做相似比。 ②相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比。 4. 相似三角形的判定： ①平行线法判定： 平行于三角形一边的直线与三角形的另两边或另两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似。 ②对应边判定： 三组对应边的比相等的两个三角形相似。 ③两边及其夹角判定法： 两组对应边的比相等，且这两组对应边的夹角相等的两个三角形相似。 ④两角判定： 有两组角（三组角）对应相等的两个三角形相似。 专题练习 1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC． 2．如图，在△ABC与△A′B′C′中，点D、D′分别在边BC、B′C′上，且△ACD∽△A′C′D′，若 　 　，则△ABD∽△A′B′D′． 请从①；②；③∠BAD＝∠B′A′D′这3个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 3．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ•AB． 求证：（1）∠CAE＝∠BAF； （2）CF•FQ＝AF•BQ． 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE＝a． （1）求BF的长（用含a的代数式表示）； （2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形． 5．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，． （1）若AB＝8，求线段AD的长． （2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 6．如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE． （1）求证：△ABC∽△AEB； （2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长． 7．如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F． （1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC； （2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由； （3）若OF＝3，EF＝2，求DE的长度． 8．如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM＝4，点E为BC边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF． （1）求证：△ABM∽△EBF； （2）当点E为BC的中点时，求DE的长； （3）设BE＝x，△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？ 9．【问题呈现】 如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． 【类比探究】 如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． 【拓展提升】 如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且．连接BD，CE． （1）求的值； （2）延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F． （1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE； （2）若＝2，求的值； （3）若MN∥BE，求的值． 11．在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E使BE＝FC，G是AF的中点，GE交BC于O，连接GD． （1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，求证：①GE＝GD；②BO•GD＝GO•FC． （2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立．请给出结论②的证明． 1