专题21 圆中的相似问题-2023年中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练

专题21 圆中的相似问题（原卷版） 类型一 求线段的长 典例1 （2022•苏州）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF＝EF． （1）求证：CF为⊙O的切线； （2）连接BD，取BD的中点G，连接AG．若CF＝4，BF＝2，求AG的长． 变式训练 1．（2022•印江县三模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE＝3，则AD的长为 　　． 2．（2017•鞍山）如图，△ACE，△ACD均为直角三角形，∠ACE＝90°，∠ADC＝90°，AE与CD相交于点P，以CD为直径的⊙O恰好经过点E，并与AC，AE分别交于点B和点F． （1）求证：∠ADF＝∠EAC． （2）若PCPA，PF＝1，求AF的长． 类型2 求线段的比值 典例2（2021•盐城）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA•PB． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若AB＝3PA，求的值． 变式训练 1．（2020•游仙区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．2 2．（2022•十堰）已知AB为⊙O的直径，BC⊥AB于B，且BC＝AB，D为半圆⊙O上的一点，连接BD并延长交半圆⊙O的切线AE于E． （1）如图1，若CD＝CB，求证：CD是⊙O的切线； （2）如图2，若F点在OB上，且CD⊥DF，求的值． 类型三 求三角形的面积或面积的最值 典例3（2022春•崇川区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最大值为（　　） A．2 B．5 C．6 D．7 变式训练 1．（2017秋•丹江口市期末）如图，△ABC中，已知BC＝2，以BC为直径的⊙O交AB于点E，交AC于点D，若DE＝1，则S△ADE：S四边形BCDE的值为（　　） A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．2：5 2．（2022秋•大丰区校级月考）如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点，过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，连接ED． （1）求证：ED∥AC； （2）若BD＝2CD，设△EBD的面积为S1，△ADC的面积为S2，且S12﹣16S2+4＝0，求S1和S2的值； （3）在（2）的条件下，求△ABC的面积． 类型四 求动点的路经长 典例4（2022•宿迁）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点M、N分别是边AD、BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为H．在这一运动过程中，点H所经过的路径长是 　　． 变式训练 1．（2021秋•新昌县期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝2cm，点E从点B出发，沿BC以每秒1cm的速度向点C匀速运动，当点E到达点C时停止运动，设点E的运动时间为t秒．连结AE，过点E作EF⊥AE，E为垂足，点F在直线BC的上方，且，以点F为圆心，FE为半径作圆，连结CF． （1）当t＝1时，判断点C与⊙F的位置关系． （2）当t＞1时，⊙F是否会与矩形ABCD的边所在的直线相切，若相切，求出t的值，若不相切，请说明理由． （3）直接写出点F的运动路径长． 类型五 证明线段之间的数量关系 典例5（滨州中考）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证： （1）直线DC是⊙O的切线； （2）AC2＝2AD•AO． 变式训练 1．（2019•柳州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F是⊙O上一点，且，连接FB，FD，FD交AB于点N． （1）若AE＝1，CD＝6，求⊙O的半径； （2）求证：△BNF为等腰三角形； （3）连接FC并延长，交BA的延长线于点P，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点M．求证：ON•OP＝OE•OM． 2．（2020•渝中区校级一模）解答时必须给出必要的演算过程成或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解作过程书写在答题卡中对应的位置上． （1）方法选择 如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，AB＝BC＝AC．求证：BD＝AD+CD． 小颖认为可用截长法证明