专题17 数系的扩充和复数的概念-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第二册）

专题17 数系的扩充和复数的概念 1．复数的有关概念 (1)复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1． (2)复数集 全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集． (3)复数的表示方法 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部． 2．复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d． 3．复数的分类 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) (2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 题型一 复数的概念 1．下列命题： ①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数； ②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i； ③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2； ④实数集是复数集的真子集． 其中正确的命题是(　　) A．①　　　　 B．② C．③ D．④ 解析：对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D. 2．对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法正确的是(　　) A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数 B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2 C．若b＝0，则a＋bi为实数 D．i的平方等于1 解析：选C.对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数； 对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1； 对于D，i的平方为－1.故选C. 3．下列命题： ①若z＝a＋bi，则仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数； ②若z＋z＝0，则z1＝z2＝0； ③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系． 其中正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：在①中未对z＝a＋bi中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z＋z＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误；在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．故选A. 4．下列命题正确的个数是(　　) ①1＋i2＝0； ②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i； ③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0； ④两个虚数不能比较大小． A．1　　　B．2　　　C．0　　　D．3 解析：对于①，因为i2＝－1，所以1＋i2＝0，故①正确．对于②，两个虚数不能比较大小，故②错．对于③，当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，故③错．④正确．故选B 5．给出下列说法：①复数2＋3i的虚部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数；③若a∈R，a≠0， 则(a＋3)i是纯虚数；④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数．其中错误说法的个数是(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 解析：复数2＋3i的虚部是3，①错；形如a＋bi(b∈R)的数不一定是虚数，②错；只有当a∈R，a＋3≠0时，(a＋3)i是纯虚数，③错；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故④正确，所以有3个错误． 6．下列命题中正确的是(　　) A．0是实数不是复数 B．实数集与复数集的交集是实数集 C．复数集与虚数集的交集是空集 D．若实数a与ai对应，则实数集中的元素与纯虚数集中的元素一一对应 解析：A中，0是实数也是复数，A不正确；B中，实数集与复数集的交集是实数集，B正确；C中，复数集与虚数集的交集是虚数集，C不正确；D中，当a＝0时，ai＝0，所以实数0在纯虚数集中没有对应元素，D不正确．故选B. 7．下列说法中正确的是(　　) A．复数由实数、虚数、纯虚数构成 B．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0 C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数 D．若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i 解析：选项A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；选项B错，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有y≠0，但可以x＝0；选项C正确，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是纯虚数， 必有x＝0，y≠0，因此只要x≠0，复数z一定不是纯虚数；选项D错，当a，b∈R时，a＋i与b＋i都是虚数，不能比较大小． 8．下列命题： ①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数； ②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1； ③两个虚数不能比较大小． 其中正确