6.2.4向量的数量积-【361课堂】2022-2023学年高一数学同步“导思议展评测”精品课件(人教A版2019必修第二册)

6.2 平面向量的运算 平面向量及其应用 6.2.4 向量的数量积 1 课程标准 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加、减运算及运算规则，理解其几何意义； 2.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义。理解两个平面向量共线的含义； 3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义； 4.通过物理中功等实例，理解平面向量投影的概念以及投影向量的意义。 2 复习回顾 回顾 向量的线性运算包括哪些？请同学们试着用适当的数形结合的思想进行描述，将抽象的问题具象化。 向量的线性运算 向量的加法 向量的减法 向量的数乘运算 实数与向量的积是一个向量，记作 那向量与向量可以相乘吗？结果是什么量？我们该怎么定义呢？ 3 一 二 三 教学目标 掌握向量的数量积运算 理解数量积的几何意义与投影向量 掌握数量积的性质与运算律，并加以运用 教学目标 重点 新知探究 探究一：向量的数量积运算 5 新知讲解 向量的知识与物理是分不开的。例如，力的合成与分解与向量的加法（减法）关系紧密。 那物理中的功的概念与向量又会产生怎样的练习？ 我们一起来看一下物理中功的概念： 如果一个物体在力的作用下产生位移， 那么力所做的功是多少？ θ ，其中的夹角 6 θ 新知讲解 功是一个标量，它是由力和位移两个向量来确定 或者说功是由力的大小、位移的大小和两个向量的夹角所确定， 数学上，我们把“功”称为向量与向量的“数量积”， “数量积”即是两个向量相乘的结果 那我们先来定义两个向量的夹角 7 概念生成 θ 向量的夹角： 已知两个非零向量，， 如图，是平面上的任意一点，作 ， 则()叫做向量与 的夹角. 注：1.向量的夹角是两向量共起点时所夹的角； 2.向量的夹角可表示为< >； 3.向量夹角范围是,两直线夹角是； 特殊情况 与同向 与垂直，记作 与反向 8 新知讲解 问题2 快问快答，请同学们快速说出下列两个向量间的夹角。 0° 140° 90° 60° 180° 9 概念生成 向量的数量积： 已知两个非零向量与，它们的夹角为 我们把数量叫做向量的数量积（或内积） 记作 即 零向量与任一向量的数量积为0，即 10 新知讲解 1. 向量的数量积是一种新的运算，与实数不同； 2. 在书写数量积时， 之间用实心圆点“ · ”连接，不能写成“ × ”,更不能省略；（运算符号） 3. 注意公式变形，知三求一：；（公式变形，求夹角公式） 4. 向量的数量积运算结果是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度以及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定. （两个向量的数量积的结果是数量） 11 例题讲解 例3.如图已知，， 与的夹角，求 解： 牢记公式 例4.如图已知，， ，求与的夹角 解：，得 因为，所以 12 新知讲解 注意夹角的大小可以利用值进行判断： 设两个非零向量之间的夹角为: ①当°时，， ； ②当为锐角时，， ； ③当为直角时，， ； ④当为钝角时，， ； ⑤当°时，， 的大小可以判断夹角所在的象限，判断夹角是锐角、钝角、直角的依据。 13 新知探究 探究二：投影向量的概念与数量积的几何意义（性质） 14 新知讲解 A B 投影与投影向量： 如图，设和是两个非零向量， ， ， 我们考虑如下的变换： 过的起点和终点，分别作所在直线的垂线， 垂足分别为，得到， 我们称上述变换为向量向向量投影， 叫做向量在向量上的投影向量 这与我们在物理中计算功是一致的！ 物理中，力与物体位移共线时，功 力与物体位移不共线时（只算水平的距离） “正交分解” 向量的投影 15 概念讲解 如图，我们可以在平面内任取一点，作 ， . 过点M作直线ON的垂线，垂足为， 则 叫做向量在向量上的投影向量 16 概念讲解 ①（ ）为在上（ 在上）的投影，是数值，不是向量 向量的投影 追问：投影向量与向量的投影的区别是什么？ 17 概念讲解 数量积等于的长度与的乘积 （数量积等于的长度与的乘积） 数量积运算的几何意义： 18 新知讲解 问题3 如图，设与方向相同的单位向量为， 与的夹角为，那么与, ,之间有怎样的关系？ 显然，与共线，于是 下面我们探究与的关系，进而给出的明确表达式 我们分为锐角、直角、钝角、以及等情况进行讨论 19 新知讲解 （1）当为锐角时， 与方向相同， 所以 N M （2）当为直角时， ， 所以 N M 20 新知讲解 （3）当为钝角时， 与方向相反， 所以 N M （4）当时，，所以 （5）当时，，所以 对于任意的。 21 新知讲解 问题4 从上面的探究我们看到，两个非零向量与相互平行或垂直时，向量在向量上的投影向量具有特殊性．这时，它们的数量积又有怎样的特殊