2023年陕西省西安交通大学少年班选拔测试数学试题

2023年西安交大学少年班选拔测试数学试题 说明： 1~12题为填空题，每题2分； 13~17为解答题，13、14各6分，15、16、17各8分； 18题为材料阅读题，40分； 原始满分100分。 1.平均数为5，中位数为______。 2.，求______。 3.的整数解有且仅有，问整数对的个数有______个。 4.商场发现当售价每上升成时，销售额减少成，当利润最多时，售价应该需上升______成。 5. 为的内切圆，三边长分别为6,8,10。将40个点均匀投入该三角形，落在内切圆中的点有22个。估算的值大小为______。 6.定义新运算。 。已知有两个相等的实数根。则的值为______。 7. ，求的值为______。 8.如图，等腰，翻折后使点和中点重合。则=______。 9. 为等边三角形，，则______。 10.一个几何体，三视图如下，均为直角边为1的等腰直角三角形。求其表面积为______。 11.有6个队，两两之间比赛一场，已知第一个队到第五个队依次赛了1场，2场，3场，4场，5场，求第六个队赛了______场。 12.平面直角坐标系中，直线，有，求到直线距离之和的最小值为______。 13.在平面直角坐标系中，横纵坐标互为相反数的称为“黎数”。如：. （1）求上的黎数点； （2）若有且仅有一个“黎数”，并且与在第二象限中的黎点相同。求的值。 14.在等腰中，，且过圆心，与分别交圆上点，连接并延长交圆于，连接。 （1）求证：； （2）在上取中点，连接，，求的长度。 15.公园有自行车50辆，每日管理费115元，当自行车租金元/辆时，能租出所有车。超过6元后，每上涨1元，就减少3辆。设利润为，每辆车的租金为。为整数，且。问： （1）用表示； （2）求最大值及此时的值。 16. 与轴交点为，与轴交于点。为的外接圆。 （1）证明：与轴另一个交点为，证明点唯一并求出该定点。 （2），与为整数，求的值。 17.抛物线：，交轴于（左）、（右），交轴于。 （1）图像顶点横坐标为3，。求的解。 （2）抛物线具体方程为：，直线与其对称轴交于。是抛物线在第一象限的动点，求以为圆心，为半径的圆的面积最小值。 18.创新题 戴德金分割：给了集合基本定义，分割条件： 1、； 2、若，有，且 3、，总有 给了上权，下权，真上数，最小上数之定义。 （1）证明：当且仅当集合有最小上数时，为有理分割； （2）不是有理分割； （3）为分割，记录，证明：为有理分割； （4）为分割， 1、 2、 3、 2023年西安交大学少年班选拔测试数学试题答案（部分） 1. 中位数为6 2. 3. 12对 4. 1成 5. 估值为3.3 6. 7. 0 8. 9. 10. 11. 3场 12. 13. （1）（4，-4），（-4,4）； （2）16 14. （1）由得,，又为直径，则，故，由垂径定理得 （2） 15．（1）44 （2）时， 16.（1），设，则由韦达定理得， 由圆幂定理得，故 所以为定点 （2） 17.略 18.略 学科网（北京）股份有限公司 $