7.1 条件概率与全概率（课件）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

7.1条件概率与全概率 第7章 随机变量及其分布 教师 xxx 人教A版（2019） 选择性必修第三册 某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示， 在班级里随机选择一人做代表： 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 （1）选到男生的概率是多大？ 分析：随机选择一人做代表，则样本空间Ω包含45个等可能的样本点.B表示事件“选到男生”，由上表可知，n(Ω)=45，n(B)=25 根据古典概型知识可知，选到男生的概率为： 一、条件概率 探究新知 （2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多大？ 分析：用A表示事件“选到团员”，“在选到团员的条件下，选到男生“的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A).此时相当于以A为样本空间来考虑事件B发生的概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，包含的样本点数n(AB)=16，根据古典概型知识可知， 探究新知 假设生男孩与生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选择一个家庭，那么： （1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？ 分析：用b表示男孩，g表示女孩，则样本空间Ω={bb,bg,gb,gg}，且所有样本点是等可能的.用A表示事件“选择的家庭中有女孩”，B表示事件“选择的家庭中两个孩子都是女孩”，则A={bg,gb,gg}，B={gg} （2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率有多大？ （1）根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率为： 探究新知 （2）”在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是 “在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A).此时，A成为样本空间，事件B就是积事件AB.根据古典概型知识可知： 探究新知 在上面两个问题中，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是 若已知事件A发生，则A成为样本空间，此时，事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值，即： Ω AB A B 则 探究新知 条件概率 概率乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A) 一般地，设A、B为两个随机事件，且P(A)>0，称 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. 探究新知 若事件A与B相互独立，即P(AB)=P(A)P(B)，且P(A)>0，则 反之，若P(B|A)=P(B)，且P(A)>0，则 即事件A与B相互独立. 当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)=P(B) 探究新知 例1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，求： （1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； （2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率. n(Ω)= n(AB)= 解法一：设A=“第1次抽到代数题”，B=”第2次抽到几何题”. （1）”第1次抽到代数题且第2次抽到几何题“就是事件AB.从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间Ω包含20个等可能的样本点，即 因为 典型例题 （2）”在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题“ 的概率就是事 件A发生的条件下，事件B发生的概率.，由条件概率公式可知 解法二：已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各 2道，因此，事件A发生的条件下，事件B发生的概率为 又，由乘法公式可得 典型例题 设P(A)>0，则 （1）P(Ω|A)=1; （2）如果B，C是两个互斥事件，则P(B∪C | A)=P(B|A)+P(C|A); （3）设 和B互为对立事件，则 条件概率的性质 探究新知 从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ 分析：用 Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1，2.事件R2可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并，即R2=R1R2UB1R2. 二、全概率公式 探究新知 P(R2|R1) P(B2|R1) P(R2|B1) P(B2|B1) 利用概率的加法公式和乘法公式，得 探究新知 分析方法 按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率. 探究新知 全概率公式 一般地，设A1,A2,...,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪...∪An=Ω， 且P(Ai)>0，i=1,2,...,n，则对任意的事件，有 称上面的公式