精品解析：广东省揭阳市普宁国贤学校2023届高三下学期开学考试数学试题

高三数学 一、单选题（共40分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ） A B. C. D. 3. “”是“直线与直线平行”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 小明和李华在玩游戏，他们分别从1~9这9个正整数中选出一个数告诉老师，老师经过计算后得知他们选择的两个数不相同，且两数之差为偶数，那么小明选择的数是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数(其中)存在零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. (1，3] C. (2，3) D. (2，3] 6. 已知为奇函数，当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 7. 现有下列五个结论： ①若，则有； ②对任意向量、，有； ③对任意向量、，有； ④对任意复数，有； ⑤对任意复数，有． 以上结论中，正确个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 如图，已知正方体的棱长为分别是棱上的动点，若，则线段的中点的轨迹是（ ） A. 一条线段 B. 一段圆弧 C. 一部分球面 D. 两条平行线段 二、多选题（共20分） 9. 有一组样本数据，其样本平均数为.现加入一个新数据，且，组成新的样本数据，与原样本数据相比，新的样本数据可能（ ） A. 平均数不变 B. 众数不变 C. 极差变小 D. 第20百分位数变大 10. 已知O为坐标原点，点，，，则（ ） A. B. C. D. （2022·广东茂名·模拟预测） 11. 双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 当n过时，光由所经过路程为13 C. 射线n所在直线的斜率为k，则 D. 若，直线PT与C相切，则 12. 在数列中，对于任意的都有，且，则下列结论正确的是（ ） A. 对于任意的，都有 B. 对于任意的，数列不可能为常数列 C. 若，则数列为递增数列 D. 若，则当时， 三、填空题（共20分） 13. 中的系数为__________（用数字作答）. 14. 已知，则___________. 15. 已知为奇函数，则________． 16. 球体在工业领域有广泛的应用，某零件由两个球体构成，球的半径为为球表面上两动点，为线段的中点.半径为2的球在球的内壁滚动，点在球表面上，点在截面上的投影恰为的中点，若，则三棱锥体积的最大值是___________. 四、解答题（共70分） 17. 已知数列满足，其中是的前项和. （1）求证：是等差数列； （2）若，求的前项和. 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面为中点，与交于点的重心为. （1）求证：平面 （2）若，求二面角正弦值. 19. 如图，已知，平面内任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为.设（为单位向量）. （1）求的长； （2）在中，若，试求的取值范围. 20. 某工厂生产一批零件，其直径X满足正态分布（单位：）. （1）现随机抽取15个零件进行检测，认为直径在之内的产品为合格品，若样品中有次品则可以认定生产过程中存在问题.求上述事件发生的概率，并说明这一标准的合理性.（已知：） （2）若在上述检测中发现了问题，另抽取100个零件进一步检测，则这100个零件中的次品数最可能是多少？ 21. 已知抛物线C：与直线相切． （1）求C的方程； （2）过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，AB的中垂线与C的准线交于点P，若，求l的方程． 22. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、单选题（共40分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交集运算可得. 【详解】，. 故选：C 2. 已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念可求得的值，进而根据复数的乘法运算即可求得结果. 【详解】由已知可得，所以. 故选：C. 3. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用两直线平行求出实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若