拓展一：数学建模 建立统计模型进行预测（非线性回归模型） (综合）-【精讲精练】2022-2023学年高二数学下学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第三册）

数学建模 建立统计模型进行预测（非线性回归模型） 目录 模型一：幂函数模型 模型二：指数与对数模型 三、高考（模拟）题体验 模型一：幂函数模型 典型例题 例题1．（2023·全国·高二专题练习）根据党的“扶贫同扶志、扶智相结合”精准扶贫、精准脱贫政策，中国儿童少年基金会为了丰富留守儿童的课余文化生活，培养良好的阅读习惯，在农村留守儿童聚居地区捐建“小候鸟爱心图书角”.2016年某村在寒假和暑假组织开展“小候鸟爱心图书角读书活动”，号召全村少年儿童积极读书，养成良好的阅读习惯，下表是对2016年以来近5年该村庄100位少年儿童的假期周人均读书时间的统计： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码 1 2 3 4 5 每周人均读书时间（小时） 1.3 2.8 5.7 8.9 13.8 现要建立关于的回归方程，有两个不同回归模型可以选择，模型一:；模型二:，即使画出关于的散点图，也无法确定哪个模型拟合效果更好，现用最小二乘法原理，已经求得模型一的方程为. (1)请你用最小二乘法原理，结合下面的参考数据及参考公式求出模型二的方程（计算结果保留到小数点后一位）； (2)用计算残差平方和的方法比较哪个模型拟合效果更好，已经计算出模型一的残差平方和为. 附：参考数据：，其中，. 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 例题2．（2023·全国·高三专题练习）某企业为改进生产，现 某产品及成本相关数据进行统计．现收集了该产品的成本费（单位：万元/吨）及同批次产品生产数量（单位：吨）的20组数据．现分别用两种模型①，②进行拟合，据收集到的数据，计算得到如下值： 14.5 0.08 665 0.04 -450 4 表中，． 若用刻画回归效果，得到模型①、②的值分别为，． (1)利用和比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由； (2)根据（1）中所选择的模型，求关于的回归方程；并求同批次产品生产数量为25（吨）时的预报值． 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，． 例题3．（2023·全国·高三专题练习）数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为2017－2021年中国在线直播用户规模（单位：亿人），其中2017年－2021年对应的代码依次为1－5． 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 3.98 4.56 5.04 5.86 6.36 参考数据：，，，其中． 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． (1)由上表数据可知，可用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（，的值精确到0.01）； (2)已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为，现从中国在线直播购物用户中随机抽取4人，记这4人中选择在品牌官方直播间购物的人数为，若，求的分布列与期望． 例题4．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行､每一列､每一个粗线宫()内的数字均含1﹣9，不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛. （1）赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度(秒)与训练天数(天)有关，经统计得到如表的数据： (天) 1 2 3 4 5 6 7 (秒) 990 990 450 320 300 240 210 现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度约为多少秒？ 参考数据(其中) 1845 0.37 0.55 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. （2）小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率. 同类题型演练 1．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）某县依托种植特色农产品，推进产业园区建设，致富一方百姓．已知该县近年人均可支配收入如下表所示，记年为，年为，…以此类推． 年份 年份代号 人均可支配收入（万元） (1)使用两种模型：①；②的相关指数分别约为，，请选择一个拟合效果更好的模型，并说明理由；