2021年巴西欧女奥代表队选拔考试数学试卷

2021巴西欧女奥代表队选拔考试 1、 无穷实数列x0，x1，x2,….满足如下条件： ①对任意k≥1,x2k=（4x2k-1-x2k-2)2 ②对任意k≥0,x2k+1=. ③xo=1； （1）求x2022的值； （2）求证：存在无穷多个正整数K，使得2021|x2k+1。 2、正整数a,b,k满足 gcd(a,b)2+lcm(a,b)2+a2b2=2020k。求证：k为偶数。3、锐角△ABC中，AC>AB,Ψ为其外接圆。P为Ψ上不含点A的弧BC的中点，Q为弧BAC的中点。过Q作QM⊥AC于M。求证：△AMB的外接圆过线段AP中点。 4、"女王游戏"是一种特殊的象棋棋子，根据其摆放方向，她可以攻击自身所在的四个斜方向中的两个。求最大的正整数n，使得我们可以在一个8x8的棋盘中摆下n个女王，使得他们互相之间不能攻击。5、集合S满足，对任意正整数n，定义集合T={n,2n，3n}，则 |SnT|=1。求证：若2∈S,则13824 ∉S。 6、 平面n边形A1，A2，…，An（其中Ai为顶点且对任意1≤i≤n-1,Ai,Ai+1相邻，An与A1相邻)若满足以下条件，就称它是“巴西的”： ①对任意1≤j≤n-,线段AjAj+1长度为 ②对任意1≤k≤n-2，∠AkAk+1Ak+2=135°. 注1：该图形不一定是凸的，各边也可能相交. 注2：各角按顺时针方向计. (1) 对“巴西的“五边形，求线段A5A1的长度 (2) 对"巴西的“n边形，其中n≡1(mod4),求线段AnA1的长度. 7、已知△.ABC的内切圆ω与三边BC,AC,AB分别切于点D，E，F。在ω上有两点K，L，满足∠CKE+∠BKF=∠CLE+∠BLF=180°。 求证：D，E，F到直线KL的距离相等。 8、已知n为正整数，且125n+22为3的幂。求证：125n+29有一个素因子大于100。 学科网（北京）股份有限公司 $