解答题系列-立体几何向量证明平行和垂直-2023届高三数学二轮复习

解答题系列-立体几何向量证明平行和垂直 一、解答题 1．如图所示，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，点为棱的中点，点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 2．如图，在长方体中，，，为的中点． （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的平面角的余弦值． 3．已知三棱柱中，面底面，，底面是边长为2的等边三角形，，E、G分别是棱的三等分点（点E在点G的上方）F在棱上，且． (1)求证： (2)在棱上找一点M，使得和面所成角的余弦值为，并说明理由． 4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3.点M在棱PD上，且DM＝2MP，点N为BC中点. （1）证明：直线MN∥平面PAB； （2）求二面角C﹣PD﹣N的正弦值. 5．如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且． （Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD； （Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值； （Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． 6．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，是的中点，已知，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：平面平面． 7．如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且. （1）求证： 平面； （2）求直线到平面的距离. 8．如图，在三棱锥P－ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，PA＝2，底面ABC于点D，，且DB＝1． (1)求证：平面PDB． (2)在棱PC上是否存在一点E，使得平面PAB？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题系列-立体几何向量证明平行和垂直 一、解答题 1．如图所示，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，点为棱的中点，点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 2．如图，在长方体中，，，为的中点． （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的平面角的余弦值． 3．已知三棱柱中，面底面，，底面是边长为2的等边三角形，，E、G分别是棱的三等分点（点E在点G的上方）F在棱上，且． (1)求证： (2)在棱上找一点M，使得和面所成角的余弦值为，并说明理由． 4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3.点M在棱PD上，且DM＝2MP，点N为BC中点. （1）证明：直线MN∥平面PAB； （2）求二面角C﹣PD﹣N的正弦值. 5．如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且． （Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD； （Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值； （Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． 6．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，是的中点，已知，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：平面平面． 7．如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且. （1）求证： 平面； （2）求直线到平面的距离. 8．如图，在三棱锥P－ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，PA＝2，底面ABC于点D，，且DB＝1． (1)求证：平面PDB． (2)在棱PC上是否存在一点E，使得平面PAB？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 1．【解析】（1）证明：因为底面，， 不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如上图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， ，，， 所以，，则， ，， ，、平面，平面. （2）解：设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的法向量为，， 则，取，可得， 所以，，则. 因此，二面角的正弦值为. 2．【解析】（1）    如图，以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，． 因为， 所以． （2）由（1），得，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，， 所以， 则点到平面的距离． （3）因为，所以． 由（1）可知，且， 所以平面，即是平面的一个法向量． 由（2）得是平面的一个法向量， 所以． 又二面角的平面角是锐角， 所以二面角的平面角的余弦值为． 3．【解析】（1）取的中点O，连接，因为三角形是等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以． 以点O为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，得，，，， ∴，，，∴； （2）依题意得，则，在上找一点，其中， ∴，，， 设平面的一个法向量， 则，令，则， ∵和平面所成角的余弦值为， 则