2023年高中奥数寒假培训代数专题测试试题

2023代数专题测试 1.设n≥3，a,>0,求证 ∑“ 1≤7 sn aiaj ∑(a:-a)2 1≤i<j≤n 2. 设a,b(i=1,2,3,·,2020)是4040个实数，满足 (a好+)=4 2620 aibi=0 2020 若c(i=1,2,…,2020)是1,2,3，·，2020的一个排列，试求cab:的最大可能值 三1 3 设：≥0，i=1,2,…,2n,且满足 |x1-x2+lx2-x3+·+lx2n-x1=2n 求f=x子+x号十…十x2n的最小可能值. 4. 设数列0<x_1≤_受2≤…≤H_2求证 (2)Σ(”) 2023代数专题测试答案 1.设n≥3，a>0,求证 （a1-a之n2∑a-a)2 Isi<jsn aiaj .Z1 1≤i<≤n 证明：不妨设∑”1a;=n,则等价证明 三学艺 i=1 n 设a好+a号+…+a品=n+(m-1)nt2,0≤t<1,易得 a;≤1+(n-1)t 那么有 1 1+(n-1)t-a1 =1+m-1E+1+m-名 而利用柯西 2-1ta1>(1+(n-1)t-a2= ∑a1(1+(m-1)t-a1)1-t 那么只需证明 n-1'≥ntn-1t+4a-121+m-1为 1-t 即只需证明 4(m-1)(1-t[1+(n-1)t≤n2 即为二元均值 1 2. 设a,b(i=1,2,3,·,2020)是4040个实数，满足 2020 (a+b)=4 2020 a=0 2020 若c(位=1,2，·，2020)是1,2,3，·，2020的一个排列，试求cab的最大可能值 2=1 解：由对称性不妨设c=i,=1.2,·,2020,由条件得 6a:b=a161+2a2g+·+2020a2020622n =a2b2+2a3b3+·+2019a2020b2020 ≤oa+aP+7a+bP+…+2010aeen+aenP ≤20a+时P++bP++a0+bw月 ≤a+bP+o+bP++an+bm月 架空-+2》 =1 =2019 另外一方面，取a1=1,b1=-1.a2020-1,b2020=1,a:=b:=0,i=2,3,·,2019时可以取到最大值2019 证明2：由条件知 k-202s2094=12…202m 那么 另外一方面，取a1=1,b1=-1.a2020=1,b2020=1,a:=b:=0,i=2,3.·,2019时取等 3. -设x≥0，i=1,2,·,2n,且满足 x1-x2+|r2-x3+·+x2m-c1=2n 求∫=x子+x号+…十xn的最小可能值. 解：注意到 f=十吃+号爱+…+好≥+}+…+2， 2 2 2 2 2 2 ≥号-+a-到++2= 当x1=1=x3=·=x2n-1=1,2=x4=…=D2m=0取等 2 4. 数列0<1≤2 ≤…≤ n,求证 证明：由柯西不等式 1 故只须证明 即 3k+1n+1) 4k 2k x候≥0 设纵=失则等价证明 ∑k3t-2n-1w呢≥0 由阿贝尔变换： LHS= k3k-2m-1)2+∑∑j3-2n-1(-+)≥0 k=17=1 证明2：利用数学归纳设 考虑n+1情形，只须证明 a+产so+e+0牛司 只须证明 2Azn+1+x品+1≤B 3+4品+1 4 而A≤√nB,只须证明 2丽1≤B+ 因式分解，我们实际上可以证明更强的 Vnxn+1≥2VB 即 n.a品+1≥4B 即 () ≤车即只须正明 nm+12≥∑（3+1)k 显然的 3