14.4.2用样本估计总体的离散程度参数 教案-2021-2022学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

江苏省丹阳高级中学2022-2023高二数学教(学)案 必修第二册第十四章 统计(第6课时) 第6课时　用样本估计总体的离散程度参数 【教学目标】 1. 结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)． 2. 理解离散程度参数的统计含义． 【教学过程】 一、问题情境 有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本(如下表)检查它们的抗拉强度(单位：kg/mm2)，通过计算发现，两个样本的平均数均为125kg/mm2. 甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145 哪种钢筋的质量较好？ 活动一、极差、方差、标准差的概念 乙样本的最小值100低于甲样本的最小值110，乙样本的最大值145高于甲样本的最大值135，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定． 我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差． 从问题情境的表中可以看出：乙的极差较大，数据较分散；甲的极差较小，数据较集中．这就说明甲比乙稳定．(可如教材中那般将两组数据在数轴上表示出来) 运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论. 问题1　如何用离差来刻画一组数据的稳定程度？ 在上一课时中，学习了总体平均数的估计，其中提到平均数是“最理想”近似值的缘由．同样我们可以考虑每一抗拉强度与平均抗拉强度的离差，离差越小，稳定性就越高. 问题2　怎样更为精确地刻画一组数据的稳定程度呢？ 考虑用与其平均数的离差的平方和来刻画一组数据的稳定程度是可行的，即问题情境中可用各次抗拉强度与平均抗拉强度的差的平方和表示．由于比较的两组数据的容量可能不同，因此应将上述平方和除以数据的个数，我们把由此所得的值称为这组数据的方差． 设一组样本数据x1,x2,…，xn，其平均数为，则称s2＝(xi－)2为这个样本的方差，简称样本方差． 因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，所以我们将方差的算术平方根称为这组数据的标准差．标准差也可以刻画数据的稳定程度． 方差的算术平方根s＝为样本的标准差，简称样本标准差． 根据上述方差的计算公式可以算得甲、乙两个样本的方差分别为50和165，故可以认为甲种钢筋的质量好于乙种钢筋． 极差﹑方差﹑标准差都是刻画数据离散程度的度量值. 问题3　若数据x1,x2,…，xn的平均数为，方差为s2，标准差为s，则数据kx1＋b,kx2＋b,…，kxn＋b的方差和标准差分别是多少？ (由上一课时可知新数据的平均数为k＋b.由方差和标准差的定义可以推导出方差为k2s2，标准差为|k|s.) 方差的另一计算公式：s2＝. 证明：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝[(x＋x＋…＋x)－2(x1＋x2＋…＋xn)＋n2]＝[(x＋x＋…＋x)－n2]＝. 练习1：求52，49，48，55，47，48，56，53 的极差、方差及标准差． 练习2：已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为，则数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为________． 练习3：已知样本数据为40，42，40，a，43，44，且这个样本的平均数为43，则该样本的标准差为________． 练习4：已知一组样本数据x1，x2，…，x10，且x＋x＋…＋x＝180，平均数x＝4，则该组数据的方差为________． 活动二、掌握极差、方差、标准差的应用 　从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高(单位：cm)如下： 甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42； 乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40. 问：(1)哪种玉米苗长得高？ (2)哪种玉米苗长得齐？[3] 解　(1)甲＝×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝×300＝30(cm)， 乙＝×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝×310＝31(cm)， 所以甲<乙，即乙种玉米苗长得高． (2)s＝×[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝×(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝×1042＝104.2(cm2)， s＝×[2×(27－31)2＋3×(16－31)2＋2×(44－31)2＋3×(40－31)2]＝×1288＝128.8(cm2)， 所以s<s，即甲种玉米苗长得齐． [题后反思]