14.4.1用样本估计总体的集中趋势参数 教案-2021-2022学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

江苏省丹阳高级中学2022-2023高二数学教(学)案 必修第二册第十四章 统计(第5课时) 第5课时　用样本估计总体的集中趋势参数 【教学目标】 1. 结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)． 2. 理解集中趋势参数的统计含义． 【教学过程】 活动一、理解平均数的概念 某校高一(1)班同学在老师的布置下，用单摆进行测试，以检验重力加速度．全班同学两人一组，在相同条件下进行测试，得到下列实验数据(单位：m/s2)： 9．62　9.54　9.78　9.94　10.01　9.66　9.88　9.68　10.32　9.76　9.45　9.99　9.81　9.56 　9.78　9.72　9.93　9.94　9.65　9.79　9.42　9.68　9.70　9.84　9.90 怎样利用这些数据对重力加速度进行估计？ 我们常用算术平均数i[其中ai(i＝1，2，…，n)为n个实验数据]作为重力加速度的“最理想”的近似值，它的依据是什么呢？ 处理实验数据的原则是使近似值与实验数据越接近越好．设这个近似值为x，它与n个实验数据ai(i＝1，2，…，n)的离差分别为x－a1，x－a2，x－a3，…，x－an.由于上述离差有正有负，故不宜直接相加．可以考虑离差的平方和，即(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2.因为(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a，所以当x＝时，离差的平方和最小，故可用作为表示这个量的理想近似值，称为这n个数据a1，a2，…，an的平均数或均值，一般记为 ＝. 这样，我们可以用计算器求得，由高一(1)班学生的实验数据估计的重力加速度的最佳近似值为9.774m/s2. 关于平均数有如下结论： (1) 若a1，a2，…，an的平均数为，则ba1＋a，ba2＋a，…，ban＋a的平均数为________； (2) 在n个数据中有k1个a1，k2个a2，…，km个am， 则这n个数的平均数为____________________(其中k1＋…＋km＝n)； (3) 在一组数据中，a1的频率是p1，a2的频率为p2，…，an的频率为pn，则这组数据的平均数为____________________________． 反思与感悟 1. 求52，49，48，54，47，48，55，52 的平均数． 2. 某公司有3名经理，14名科技人员，23名工人，经理工资为4 800元，科技人员3 400元，工人 1 600元，求该公司的平均工资． 活动二、掌握平均数的应用 例1下面是某校学生日睡眠时间(单位：h)的抽样频率分布表. 睡眠时间 人数 频率 [6.0，6.5) 5 0.05 [6.5，7.0) 17 [7.0，7.5) [7.5，8.0) 0.37 [8.0，8.5) 6 [8.5，9.0] 2 合计 1 (1) 完成表格； (2) 用两种方法估计该校学生的日平均睡眠时间． 反思与感悟 1. 若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn， 则其平均数为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn. 2. 若每组数据在一个范围内，则x1，x2，…，xn的值近似地取各组区间中点的数值(称为“组中值”)． 某单位年收入(单位：元)在10 000～15 000，15 000～20 000，20 000～25 000，25 000～30 000，30 000～35 000，35 000～40 000及40 000～50 000之间的职工所占的百分比分别为10%，15%，20%，25%，15%，10%和5%，试估计该单位职工的平均年收入． 活动三、理解众数与中位数的概念 一般地，我们将一组数据中出现次数最多的那个数据叫作该组数据的众数．将一组数据按照从小到大的顺序排成一列，如果数据的个数为奇数，那么排在正中间的数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么排在正中间的两个数据的平均数即为这组数据的中位数． 思考►►►平均数、众数、中位数这三个量都是反映一组数据的什么趋势？ 平均数、众数、中位数这三种估计总体集中趋势参数的优缺点： 名称 优　　点 缺　　点 平均数 代表性较好，是反映数据集中趋势的量．一般情况下，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息 受少数极端值的影响较大，使其在估计总体时的可靠性降低．任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大 众数 ①体现了样本数据的最大集中点； ②容易计算 ①它只能表达样本数据中很少的一部分信息； ②无法客观地反映总体的特征 中位数 ①不受少数几个极端数据(即排序靠前或