14.4.1 用样本估计总体的集中趋势参数(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

14.2.2　分层抽样 学业标准 素养目标 1.了解分层抽样的特点、必要性和适用范围． 2．掌握各层样本量比例分配的方法．(难点) 3．能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题．(重点) 1.通过对分层抽样方法的学习，培养数据分析核心素养． 2．通过分层抽样中的有关计算，提升数学运算核心素养. [教材梳理] 导学1 分层抽样 1.定义：将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫作分层抽样，所分成的各个部分称为“层”． 2．适用条件：总体由差异明显的几个部分组成，并且知道某一类个体在总体中所占的百分比. 3．步骤 (1)将总体按一定标准分层； (2)计算各层的个体数与总体的个体数的比； (3)按各层的个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量； (4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样)． 导学2 两种抽样方法的区别与联系 1.随机样本：为了使样本相对总体具有很好的代表性，就必须使得总体中每个个体被抽取的概率相等.如果一个样本是按这种规则抽取的，那么称这个样本为随机样本． 2．两种抽样方法的区别与联系 类别 特点 相互联系 适用范围 共同点 简单随 机抽样 从总体中逐个抽取 最基本的抽样方法 总体中的个体数相对较少 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同 分层 抽样 将总体分成几层，按各层的个体数之比抽取 分层抽样时，可以采用简单随机抽样 总体由差异明显的几部分组成 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分层抽样适合个体有显著差异的总体．(　　) (2)某学校为了了解高一、高二、高三三个年级的学生的课外阅读时间是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是分层抽样法．(　　) (3)简单随机抽样、分层抽样两者的共同点是在抽样过程中每个个体被抽到的机会相等．(　　) (4)分层抽样中不同层的个体被抽到的概率不相等．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵，为调查树苗的生长情况，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为(　　) A．30　　　　　　 B．25 C．20 D．15 解析　样本中松树苗为4 000×＝4 000×＝20(棵)． 答案　C 3．已知某乡农田有山地8 000亩、丘陵12 000亩、平地24 000亩、洼地4 000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田粮食平均亩产量，则采用________方法抽样比较合理，其中山地应抽________亩． 解析　本题总体是由差异明显的几个层组成的， 适合分层抽样的要求．山地应抽 480×＝80(亩)． 答案　分层抽样　80 4．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件、80件、60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层随机抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝________. 解析　依题意得＝，故n＝13. 答案　13 题型一　对分层抽样的理解 　下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是(　　) A．从10名同学中抽取3人参加座谈会 B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户、中等收入的家庭280户、低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本 C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间 D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量 [解析]　A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体所含有个体差异明显，适合用分层随机抽样． [答案]　B 分层随机抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小. [触类旁通] 1．在100个零件中，有一级品20个、二级品30个、三级品50个，从中抽取20个作为样本． 方法1　采用简单随机抽样的方法，将零件编号00,01,02，…，99，用抽签法抽取20个． 方法2　采用分层随机抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个． 对于上述问题，下列说法正确的是(　　) ①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性相等； ②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同； ③在上述两种抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征； ④在上述抽样方法中，方法1抽到的样本比方法2抽到的样本更能反映总体的特征． A．①②　 B．①③　　 C．①④　 D．②③ 解析　根据两种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性都相等，故①正确，②错误．由于总体中有差异较明显的三个层(一级品、二级品和三级品)，故方法③抽到的样本更有代表性，③正确，④错误，故①③正确． 答案　B 题型二　分层抽样的方案设计 　某市的3个区共有高中学生20 000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5，现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况． (1)试写出抽样过程； (2)若样本中3个区的高中学生的平均视力分别为4.8,4.8,4.6，试估计该市高中学生的平均视力． [解析]　(1)①由于该市高中学生的视力有差异，按3个区分成三层，用分层抽样法抽取样本． ②确定每层抽取的个体数，在3个区分别抽取的学生数之比也是2∶3∶5，所以抽取的学生人数分别是200×＝40；200×＝60；200×＝100. ③在各层分别按简单随机抽样法抽取样本． ④综合每层抽样，组成容量为200的样本． (2)样本中高中学生的平均视力为×4.8＋×4.8＋×4.6＝4.7. 所以估计该市高中学生的平均视力约为4.7. 在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体容量之比. [触类旁通] 2．一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为调查对象，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？ 解析　用分层抽样来抽取样本，步骤如下： (1)分层，按年龄将500名职工分成三层，不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工． (2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为＝，则在不到35岁的职工中抽取125×＝25(人)；在35岁至49岁的职工中抽取280×＝56(人)；在50岁及50岁以上的职工中抽取95×＝19(人)． (3)在各层分别按简单随机抽样法抽取样本． (4)汇总每层抽样，组成样本． 题型三　分层抽样中的有关计算问题(一题多变) 　(1)某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师________人． (2)某企业共有1 600名职工，其中，老年、中年、青年职工的比例为2∶3∶5，现用分层抽样的方法从所有的职工中抽取一个样本容量为200的样本，那么从中年职工中抽取多少人？ (1)[解析]　设该校其他教师有x人，则＝，解得x＝52，经检验，x＝52是原方程的根，故全校教师共有26＋104＋52＝182(人)． [答案]　182 (2)[解析]　根据分层抽样的方法步骤，可知按照一定比例抽取，样本容量为200，那么根据题意从中年职工中抽取的人数为200×＝60. [母题变式] 1．(变结论)若本例(2)条件不变，则青年职工应抽取________人． 解析　青年职工的抽取人数为200×＝100(人)． 答案　100 2．(变条件)若把本例(2)中的职工的比例改为1∶6∶3，其他不变，应如何求解？ 解析　中年职工的抽取人数为200×＝120(人)． [素养聚焦]　在分层抽样问题中，通过对样本容量或个体数的计算，提升数学运算核心素养． 进行分层抽样的相关计算时常用到的两个关系 (1)＝； (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比. [触类旁通] 3．某中学有高中生1 800人，初中生1 200人，为了解学生课外锻炼情况，用分层抽样的方法从学生中抽取一个容量为n的样本．已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，则n＝(　　) A．48 B．72 C．60 D．120 解析　由题意可知分层抽样按照n∶3 000的比例进行抽取，则高中生抽取的人数为1 800×＝；初中生抽取的人数为1 200×＝，因为从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，则－＝24，解得n＝120，故选D． 答案　D [缜密思维提能区]　　　　　　　　　易错案例　　 分层抽样的应用 [典例]　一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员的人数是________. [错解]　设应抽取的女运动员为x人，依题意得＝，解得x＝16. [正解]　利用分层抽样的特点，按比例抽样去分析． 依题意，女运动员有98－56＝42(人)．设应抽取女运动员x人，根据分层抽样特点，得＝，解得x＝12. [答案]　12 [纠错心得]　本题易因对男、女运动员分层时混淆对应数据致误，在处理分层抽样的问题时，关键是确定好对应各层的抽样比，再根据样本与总体之间的比例关系列出相应等式． 知识落实 技法强化 (1)分层抽样及有关概念． (2)分层抽样的应用及有关计算. (1)不管是简单随机抽样还是分层抽样，每个个体被抽到的概率相等． (2)简单随机抽样和分层抽样的区别与联系. 学科网（北京）股份有限公司 $$