2023年九年级数学中考专题：几何探究压轴题

2023年九年级数学中考专题：几何探究压轴题 1．如图，在中，，，，动点P从A出发，沿射线方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q从C点同时出发，以每秒4个单位的速度在线段上由C向A运动，当Q点运动到A点时，P，Q两点同时停止运动．以为边作正方形（P，Q，E，F按逆时针排序），以为边在上方作正方形． (1)求的面积． (2)设点P运动时间为t，正方形的面积为S，请探究S是否存在最小值？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (3)请求出当t为何值时，正方形的某个顶点（点Q除外）落在直线上． 2．在一堂数学实践课上，赵老师给出了下列问题： (1)【提出问题】如图1，在中，E是的中点，P是的中点，就称是的“双中线”，．则______． (2)【探究规律】在图2中，E是正方形一边上的中点，P是上的中点，则称是正方形的“双中线”，若．则的长为______（按图示辅助线求解）； (3)在图3中，是矩形的“双中线”，若，请仿照（2）中的方法求出的长，并说明理由； (4)【拓展应用】在图4中，是平行四边形的“双中线”，若．求出的周长，并说明理由？ 3．【问题背景】如图1，在矩形中，点M，N分别在边，上，且，连接，点P在上，连接并延长至点Q，使，连接． 【尝试初探】求证：； 【深入探究】若，，点P为中点，连接，，求证：； 【拓展延伸】如图2，在正方形中，点P为对角线上一点，连接并延长至点Q，使，连接，若，求的值（用含n的代数式表示） 4．根据下列题目要求，解答下列问题： (1)如图1，已知正方形和正方形，连接、．求证． (2)如图2，在矩形中，，已知矩形矩形，相似比为，，连接、，延长交于M．探究线段与的数量关系． (3)如图3，已知矩形矩形，连接、、，发现线段、、存在这样的数量关系：，请你对这个数量关系加以证明． 5．问题情境：如图1，在正方形中，为边上一点不与点、重合，垂直于的一条直线分别交、、于点、、．则、、之间的数量关系为　　　　． 问题探究：在“问题情境”的基础上． 如图2，若垂足恰好为的中点，连接，交于点，连接，并延长交边于点求的度数； 如图3，当垂足在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处，若正方形的边长为，的中点为，求的最小值． 问题拓展：如图4，在边长为的正方形中，点、分别为边、上的点，将正方形沿着翻折，使得的对应边恰好经过点，交于点分别过点、作，，垂足分别为、,若，请直接写出的长． 6．如图，在锐角中，，过点A作于点D，过点B作于点E，与相交于点H，连接．的平分线交于点F，连接交于点G． (1)求证： (2)试探究线段，，之间的数量关系； (3)若，求的长． 7．定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”．如图，在与中，，，且，所以称与为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为α，连接，则称为“关联比”． 下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题： (1)当与为“关联等腰三角形”，且时， ①在图2中，若点E落在上，则“关联比” ； ②在图3中，探究与的关系，并求出“关联比”的值． (2)如图4，当与为“关联等腰三角形”，且时， ①“关联比” ． ②时，将绕点A顺时针旋转60°，线段扫过的面积是 ． (3)[迁移运用]如图5，与为“关联等腰三角形”．若，，点P为边上一点，且，点E为上一动点，当点E自点B运动至点P时，点D所经过的路径长为 ． 8．【探究发现】如图1，正方形的对角线交于点，是边上一点，作交于点．学习小队发现，不论点在边上运动过程中，与恒全等，请你证明这个结论； 【类比迁移】如图2，矩形的对角线交于点，，是延长线上一点，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在的延长线上，求的值； 【拓展提升】如图3，等腰中，，，，点是边上一点，以为边在的上方作等边，连接，取的中点，连接，当时，直接写出的长． 9．（1）问题探究：如图1，在正方形，点，分别在边，上，于点，点，分别在边、上，． ①判断与的数量关系：______； ②推断：的值为：______；（无需证明） （2）类比探究：如图（2），在矩形中，．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用1：如图3，四边形中，，，，，点，分别在边、上，求的值． （4）拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 10．【阅读感悟】数学解题的一个重要原则是对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 【知识方法】 （1）如图1，在与